Введение в комбинаторику

и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления,

к которым можно отнести все математические идеи».
Дж. Сильвестр

комбинаторика?
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы

о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, ученому-агроному, планирующему распределение с/х культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав.

комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае

увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.

Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.

в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые

можно составить из частей и т.д.

Со временем появились различные игры
(нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.)

В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

(1.07.1646 - 14.11.1716)
Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым

стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».

Леонард Эйлер(1707-1783)

рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку—топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур.

сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Я. Бернулли превзошло

работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания.

Таблицы.

4. Графы (деревья).

5. Формулы.

может быть выбран к1 способами, а элемент В – к2

способами, причем выборы А и В являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлен к1+к2 способами.

Задача 1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ?
Решение: к1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28),
к2=4 – кратное 3 (3,15,21,75)
к1+к2 = 5+4 = 9

быть выбран к1 способами, а элемент В – к2 способами,

то выбор «А и В» может быть осуществлен к1хк2 способами.

Задача 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?

Решение: N= 5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями)

б) Сколько среди них чисел, кратных 5?

Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5.
На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5.
N= 5х1 =5

11, если обе его цифры одинаковы. N= 5

г) Сколько среди

них чисел, кратных 3?
Решение: Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Составим всевозможные пары:
1 -1 3 -3 5 – 5 7 – 7 9 -9
1 -3 3 -5 5 – 7 7 – 9
1 -5 3 -7 5 -9
1 -7 3 – 9
1 – 9
Таких пар 15. Среди них 5 пар, сумма которых делится на 3, причем три пары допускают перестановку, т.е. могут образовать по два разных числа. Всего 5+3=8 различных двузначных чисел.

Правило произведения

места на чемпионате по футболу, в котором участвуют а) 10 команд
Решение:

N=10х9х8=720

б) 11 команд?
Решение: N=11х10х9х8=990

Правило произведения

0, 1,2,3,4, если
а) цифры не повторяются?

Решение: На первом месте

одна из 4-х цифр ( 0 не может быть), на 2-ом – одна из оставшихся 4-х:
N=4х4= 16

б) цифры могут повторяться
Решение: На 1-ом месте может быть одна из 4-х цифр, на 2-ом – одна из 5 (0 входит):
N=4х5= 20

Правило произведения

решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по

ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.
а)Сколько всего стран могут использовать такую символику?

Решение: Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N=4х3х2х1=24

красной полосами, расположенными рядом?

Решение: Две полосы, всегда расположенные рядом, можно

рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно составить 3х2х1=6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная, или красная, а под ней синяя. Поэтому общее количество вариантов по правилу суммы равно 6+6=12

Правило произведения

белой полосой?

Решение: Если фиксировать цвет нижней полосы, то цвета трех

расположенных над ней полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами

Правило произведения

г) Сколько стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?
Решение: Если фиксировать цвет белой полосы, то цвета следующих полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами.

крестики и нолики.
а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?
Решение: Для

заполнения первой клетки есть 2 способа ( крестик или нолик); для заполнения каждой последующей – тоже 2 способа; общее количество способов заполнить таблицу по правилу произведения равно 2х2х2х2=16.

и нижней правой будут разные значки?

Решение: Если в верхней клетке

– крестик, а нижней – нолик, то остальные клетки можно заполнить 2х2=4 способами. Если в верхней клетке – нолик, в нижней – крестик, то еще 4 способа заполнения. Всего 4+4=8 способов.

стоять крестик?

Решение: Если в левой нижней клетке фиксируем крестик, то

остальные 3 клетки можно заполнить 2х2х2=8 различными способами

на скамейку так, чтобы Коля и Оля оказались рядом?
Решение: Будем

считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить Колю можно шестью способами, после чего Олю посадить рядом с ним одним или двумя способами. Это зависит от того, куда мы посадили Колю – на крайнее место или нет.

выбрать 2 способами, после чего Олю можно посадить одним способом,

после чего оставшиеся 4 места можно занять 4х3х2х1 способами, значит, всего 2х1х4х3х2х2=48 способов

Коля сидит где-то в середине. Место для Коли можно выбрать 4 способами, Олю можно посадить 2 способами, значит, всего
4х2х4х3х2х1=192 способами.

По правилу сложения 48+192= 240 способов

числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких чисел, которые

больше 2000, но меньше 5000?

Решение: Выбор 1-ой цифры – 2 способа (3,4), 2-ой цифры – 3 способа, третьей – 2 способа, четвертой -1. По правилу произведения N=2х3х2х1=12 чисел.

котором нанесены цифры 0,1,2,…9.Каждая квартира получает кодовый замок из двух

цифр типа 0-2, 3-7 и т.п. Хватит ли кодовых замков для всех квартир, если в доме 96 квартир? (код 0-0 не существует)
Решение: Выбор 1-й цифры – 10 вариантов, 2-й –10 вариантов.
Всего 10х10 – 1 = 99 вариантов
Ответ: хватит.

по одной из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из

общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной работе Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите:
а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы

Решение: Каждая задача может быть выбрана 10 способами. По правилу произведения N=10х10х10х10х10=100000

все 5 задач
Решение: N=8х8х8х8х8=32768
в) число тех вариантов, в которых Вова

не сможет решить ни одной задачи
Решение: N=2х2х2х2х2=32
г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой.
Решение: N=2х8х8х8х8=8192

цвет, а остальные – в черный. Сколько можно провести отрезков

с разноцветными концами?

Решение: Первую рыжую вершину можно соединить отрезком с любой из 10 – 3 = 7 черных вершин, после этого вторую рыжую вершину можно соединить отрезком с любой из 6 оставшихся черных вершин, а третью рыжую – с любой из 5 оставшихся черных вершин. Общее число вариантов (отрезков с разноцветными концами) по правилу произведения равно:
7х6х5=210

соединена с каждой), если количество его вершин 12?
Решение: Первую вершину

можно выбрать из 12, вторую – из 11; всего 12х11=132 пары. Но они учитывают порядок выбора (каждая пара входит дважды). Поэтому количество ребер равно 12х11:2=66

для 7а класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику,

либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока?
Решение: Составим таблицу вариантов:
Всего существует 2х3 = 6 вариантов

цифр 1,3,5,7,9?
а) цифры не повторяются -
6 вариантов (15,39,57,51,75,93)
б) цифры могут

повторяться – 8 вариантов (еще 33,99)

друзей пожал другому руку. Сколько было рукопожатий, если друзей:
а) трое

; б) четверо ; в) пятеро?
N=3 N=6 N=10

специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек было роздано,

если специалистов было
а) трое ; б) четверо ; в) пятеро?
N=3 N=6 N=10

2, 7, 9 если цифры в этих числах могут повторяться?
22

27 29 72 77 79 92 97 99

2

7

9

9

7

2

2

9

7

9

7

2

*

из роз (р), астр (а) и гвоздик (г). В доме

было 2 вазы: хрустальная (х) и керамическая (к). Маша пробовала устанавливать каждый букет в каждую вазу. Перечислить все полученные сочетания букета с вазой.

повторений
Размещения с повторениями (строки)
Перестановки с повторениями
Сочетания с повторениями
Разбиения
Подмножества

n!
5!=1*2*3*4*5=120; n!=1*2*3*…*(n-1)*n
Перестановка без повторений.
Задача 19. Даны цифр: 1,2,3,4,5,6,7. Сколько различных

чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.
Примеры: 1234567, 2354167, 7546321.
Перестановка-упорядоченное множество.
Число перестановок из n элементов вычисляют по формуле Pn=n!.
По условию n=7
Так из 7 цифр можно 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 различных чисел.

чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой

из 7 элементов.
Примеры: 1223334, 4232331,2233314.
Некоторые числа при перестановке одинаковых цифр не меняется. Число таких перестановок вычисляется по формуле Pn=n!/(n1!*n2!*n3!).
По условию n=7, n1=2 , n2=3
Получаем 7!/(2!*3!)=5040/12=420 различных чисел.

карандашей. Выбирается 3 карандаша. Сколько существует способов выбрать 3 карандаша,

чтобы не было повторяющихся наборов? Выборка из трёх карандашей – это сочетание из 7-ми по 3 элемента в каждом.
Сочетание - неупорядоченная выборка.
Число сочетаний из n элементов по m в каждом находим по формуле: Cn = n!/(m!*(n-m)!).
Решение: 7!/(4!*3!)=7*6*5=210
Задача 22. В классе обучается 20 человек. Сколько существует способов выбрать актив, состоящий из 4 человек?
Решение. Находим число сочетаний из 20 элементов по 4 в каждом: 20!/(4!*16!)=17*18*19*20/24=4845 способов выбрать актив.

алфавита записаны на карточках. Выбирается 4 карточки и затем из

набора составляют различные слова. Под словом будем понимать порядок следования букв. Например:
плот, лотп, лпот- разные слова. Каждое полученное слово-это размещение.
Размещение –упорядоченная выборка
Число размещений из n элементов по m в каждом находим по формуле: An =n!/(n-m)!.
Сколько слов можно получить в предложенной задаче? По формуле получаем решение
32!/(32-4)!=32!/28!=29*30*31*32=863040