Задачи математической статистики

анализа в зависимости от цели исследования.








Задача статистического моделирования

состоит в создании методов сбора и обработки статистической информации для получения научных и практических выводов.

Лекция №2, ТВиМС, Лакман И.А.

объектов из генеральной совокупности. К выборке предъявляется условие представительности или

репрезентативности, т.е. выборка должна правильно представлять генеральную совокупность, для этого необходимо, чтобы объекты выборки были отобраны случайно.
Определение: Генеральной совокупностью называется совокупность, из которой производиться выборка.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение Х1 наблюдалось n1 раз, Х2 -- n2 раз, …, Хk -- nk раз.
Тогда: , где n - общее число наблюдений (объем выборки).

Лекция №2, ТВиМС, Лакман И.А.

вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдений

ni называют частотами, а их отношение к объему выборки называют относительными частотами
.
Определение: Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им относительных частот.
Пусть известно статическое распределение частот количественного признака Х. Пусть nх - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака X меньшее х; n – общее число наблюдений, тогда относительная частота события Х<х равна .

Лекция №1, ТВиМС, Лакман И.А.

функция F*(x), определяющая для каждого значения х относительную частоту появления

события Х<х.
Для наглядности статистического распределения в случае дискретного распределения признака Х строят полигон (ломанная, где длина Х откладывается на оси абсцисс, а на оси ординат соответствующие им частоты ni).
В случае непрерывного распределения признака Х строят гистограммы. Для построения гистограммы все наблюдаемые значения признака разбивают на несколько i частичных интервалов длиной h, и для каждого интервала сумму частот вариант попавших в i интервал отмечают по оси ординат. Гистограммой распределения частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению (плотность частот).

Лекция №1, ТВиМС, Лакман И.А.

с сотового телефона: 5, 6, 10, 12, 4, 6, 0,

3, 15, 20, 14, 13, 11, 8, 10, 7, 6, 10, 12, 16, 18, 10, 14, 12, 5, 7, 16, 8, 9, 12. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения телефонных звонков в месяц.
Решение: Объем выборки п=30. Выберем длину частичного интервала h в 4 звонка. Тогда получим следующее распределение выборки.

Лекция №1, ТВиМС, Лакман И.А.

интервалы длиной h=4, а параллельно оси ординат высоты длиной ni/h.

Для построения гистограммы распределения относительных частот – откладываем параллельно оси ординат высоты длиной wi=ni/n .







Гистограмма распределения Гистограмма распределения
частот звонков. относительных частот звонков.

Лекция №2, ТВиМС, Лакман И.А.

Х2,…, Хn, полученные в результате n наблюдений. Для того чтобы

найти статистическую оценку θ неизвестного параметра теоретического распределения через эти данные необходимо найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которые дают приближенное значение оцениваемого параметра. Статистическую оценку, которая определяется одним числом, называют точечной.
Полученные оценки должны быть достоверными, т.е. обладать свойствами несмещенности, эффективности и состоятельности.
Несмешанной называют статистическую оценку θ*, математическое ожидание которой равно оценивающему параметру θ при любом объеме выборки, т.е. М(θ*)= θ .
Эффективной оценкой называют статистическую оценку θ*, которая при заданном объеме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию.
Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n→ ∞ и стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. .

Лекция №1, ТВиМС, Лакман И.А.

совокупности:
, (1)
где

N – объем генеральной совокупности.
Если х1 встречается N1 раз, х2 – N2 раз и т.д., то (1) можно переписать в виде: (1)
Определение: Несмещенной оценкой генеральной средней служит выборочная средняя, определяемая как среднее арифметическое значение признаков выборки (ni частоты появления признака):
или (2).

Средняя величина позволяет сделать вывод о центральном или наиболее общем значении, найденном для совокупности данных.

Лекция №1, ТВиМС, Лакман И.А.

генеральной совокупности от ее среднего значения.

(3)
Определение: Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия, определяемая как:


. (4)
Определение: Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия, определяемая:


(5)
Мера рассеяния (дисперсия) показывает, насколько данные распределены относительно среднего значения признака.

Лекция №1, ТВиМС, Лакман И.А.

,

.
Определение: Несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения является стандартное отклонение, определяемое по формуле:

(6)

Определение: Модой называется это наиболее часто наблюдаемая величина случайной переменной, обозначается М0. Для дискретного ряда мода равна максимальной частоте, для интервального вариационного ряда определяется модальный интервал по наибольшей частоте, а мода определяется как:


Здесь - частоты модального, предмодального и постмодального интервалов; а Х0 и i – нижняя граница и величина модельного интервала.

Лекция №1, ТВиМС, Лакман И.А.

середине ранжированного ряда данных, т.е. наблюдение, занимающее серединное значение, обозначается

как Ме.
Для интервального вариационного ряда определяется: модальный интервал по наибольшей частоте, а мода определяется как:



Здесь - частота медианного интервала; - кумулятивная частота предмедианного интервала; а Х0 и i – нижняя граница и величина медианного интервала.

Лекция №1, Анализ данных, Лакман И.А.

делят вариационный ряд по объему на четыре равные части.

Первый

квартиль:


Третий квартиль:

Второй квартиль равен медиане.
Определение: Децили D - это значения вариантов признака, которые делят вариационный ряд по объему на десять равных частей, а процентили P соответственно на 100.
Первая дециль: Первая процентиль

Лекция №1, Анализ данных, Лакман И.А.

данных по формуле:

, .

Среднеквадратичное отклонение дает неискаженное представление о б отклонении, в отличие от дисперсии.
Для колеблиемости данных вводят также:
Коэффициент осцилляции:

Коэффициент вариации:

Квартильный коэффициент вариации:

Децильный коэффициент вариации:

Лекция №1, Анализ данных, Лакман И.А

нет, то говорят, что сдвиг в рассеянии данных отсутствует.

положительная отрицательная Симметрично асимметрия асимметрия (сдвига нет)
(средняя > медиана) (средняя < медиана)

Лекция №1, ТВиМС, Лакман И.А.

рассеянии данных.
Коэффициент асимметрии определяется:

(7)



Коэффициент асимметрии Спирмена определяется как:

(8)
Коэффицент асимметрии является моментом третьего порядка

Лекция №1, ТВиМС, Лакман И.А.

выраженный пик, называются островершинными. Те же распределения, у которых степень

вытянутости вдоль оси ординат меньше, называют плосковершинными.






Плосковершинное Островершинное

Лекция №1, ТВиМС, Лакман И.А.

Коэффициент асимметрии является моментом третьего порядка.
Коэффициент эксцесса является моментом четвертого

порядка.

Лекция №1, ТВиМС, Лакман И.А.

признаки регистрируются у отдельных единиц изучаемой совокупности, отобранных с помощью

специальных методов. Полученные в ходе выборочного наблюдения результаты распространяются на всю исходную совокупность с заданным уровнем доверия.
Виды выборочного наблюдения:
Простая случайная (собственно-случайная) выборка
Систематическая (механическая) выборка
Стратификационная (типическая) выборка
Гнездовая (серийная) выборка





Для каждой выборки определяют границы генеральных характеристики: средняя ошибка выборки, предельная ошибка выборки. Определяют генеральную долю и необходимый объем выборки.

Лекция №3, Анализ даных Лакман И.А.

Отбор единиц в выборочную совокупность

Повторный отбор

Бесповторный отбор

ни от последовательности расположения единиц, ни от значения признаков совокупности,

не учитывают ни принадлежность к какой –либо группе, ни к серии из единиц совокупности.
Средняя ошибка повторной выборки:
Где σ – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;
n – объем выборочной совокупности.
Средняя ошибка бесповторной выборки:
Где σ – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;
n – объем выборочной совокупности.
N – объем генеральной совокупности.
Предельная ошибка выборки определяется на основе уровня вероятности. При t=2 (p=0,954), t=3 (p=0,997), где t- статистика Стьюдента.

Генеральная средняя находится в интервале:

Лекция №3, Анализ даных Лакман И.А.

среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;
– предельная ошибка

выборки.
Необходимый объем простой случайной бесповторной выборки:


Где σ – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;
- предельная ошибка выборки.
N – объем генеральной совокупности.
Полученный результат округляет в большую сторону от целого значения

Лекция №3, Анализ даных Лакман И.А.

формирование выборки производится из единиц каждой группы генеральной совокупности пропорционально

их объему.

Средняя ошибка повторной выборки:
Где – среднее из внутригрупповых дисперсий;
n – объем выборочной совокупности.
Средняя ошибка бесповторной выборки:
Где – среднее из внутригрупповых дисперсий;
n – объем выборочной совокупности.
N – объем генеральной совокупности.

Лекция №3, Анализ даных Лакман И.А.

из внутригрупповых дисперсий;
– предельная ошибка выборки.
Необходимый объем

стратификационной бесповторной выборки:



Где – среднее из внутригрупповых дисперсий;
– предельная ошибка выборки.
N – объем генеральной совокупности.
Полученный результат распределяют по типическим группам пропорционально их численности:

Где - объем i-ой группы, - объем выборки из i-ой группы.

Лекция №3, Анализ даных Лакман И.А.

объему групп (серий). Единицей отбора является серия, а внутри серии

проводится сплошной отбор ее единиц совокупности

Средняя ошибка повторной выборки:
Где r – число отобранных серий;
δ– межгрупповая дисперсия.
Средняя ошибка бесповторной выборки:
Где r – число отобранных серий;
δ– межгрупповая дисперсия.
R – общее число серий.
Межгрупповая дисперсия:
Где - средняя i-ой серии;
х - общая средняя по всей выборочной совокупности.

Лекция №3, Анализ даных Лакман И.А.

дисперсия;
– предельная ошибка выборки.
Необходимый объем серийной бесповторной

выборки:



Где δ – межсерийная дисперсия;
– предельная ошибка выборки.
R – общее число серий.

Лекция №3, Анализ даных Лакман И.А.

совокупности через равные интервалы в соответствии с установленным процентом отбора.

Характеристики систематической выборки определяются по тем же самым формулам, что и для простой случайной выборки.

Лекция №3, Анализ даных Лакман И.А.