Похвальное слово логарифмам и логарифмической линейке

«У Чистых прудов» г.Москва

2013 год

г.Москва

2013 год

– время бурного развития производства и торговли в Европе, прежде

всего в Англии и Нидерландах. Потребность в сложных расчётах быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел.

Конец XVI и первая половина XVII веков – потребность в сложных расчётах

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение. Возьмем для

примера число 10 и говорить будем о положительных числах.

… Заменить трудоёмкое умножение на простое сложение

Из истории появления логарифма

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

a=10x

Допустим, мы можем представить их в виде

Y

b=10y

ТОГДА

ab=10x+y

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

a=10x

Допустим, мы можем представить их в виде

Y

b=10y

ТОГДА

ab=10x+y

По сумме (x+y) можно «восстановить» значение произведения.

Если у нас есть какой-то способ по a и b знать значения x и y, то для умножения достаточно просто сложить x и y, а затем по сумме (x+y) «восстановить» значение произведения.

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

a=10x

Допустим, мы можем представить их в виде

Y

b=10y

ТОГДА

ab=10x+y

По сумме (x+y) можно «восстановить» значение произведения.

Если у нас есть какой-то способ по a и b знать значения x и y, то для умножения достаточно просто сложить x и y, а затем по сумме (x+y) «восстановить» значение произведения.

В данном случае числа x и y называют десятичными логарифмами чисел a и b

x=lg(a)
y=lg(b)

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

положительных чисел.


ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва

2013 год

«Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий

для реализации своей идеи.

Михаэль Штифель (нем. Michael Stifel, около 1487, Эсслинген-на-Неккаре — 19 апреля 1567, Йена) — немецкий математик

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

1594 года, но лишь двадцать лет спустя, в 1614 году,

опубликовал свое
«Описание удивительной таблицы логарифмов», содержавшее определение Неперовых логарифмов, их свойства и таблицы логарифмов.

Изобретателем логарифмов считают шотландского барона Джона Непера (1550—1617).

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

2013 год

= aebφ
где a и b- константы,
e -основание натуральных

логарифмов

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

детства

В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.
Даже

«близкие» нам пауки
предпочитают плести свою
паутину по «логарифмическому»
образцу.

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва

2013 год

В природе форма этой линии известна нам с детства

первой, второй величины, и т.д.
Последовательные звездные величины воспринимаются глазом

плавно, как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется как геометрическая прогрессия со знаменателем 2,5. «Звездная величина»
представляет собой логарифм её физической яркости по основанию 2,5.

Человеческий глаз и ухо используют логарифмическую шкалу яркости и громкости, чтобы «сгладить» большие колебания этих величин.

Астрономия

«Звездная величина» = log 2,5 (физической яркости)

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

доля, «децибел».
Степени громкости 10 децибел, 20 децибел и т.д.

составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же энергия составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

Физика

«Громкость шума» = lg (физической силы шума)

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Человеческий глаз и ухо используют логарифмическую шкалу яркости и громкости, чтобы «сгладить» большие колебания этих величин.

Вебера-Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения. Как видно,

логарифмы вторгаются и в область психологии.

Ощущение изменяется пропорционально log (раздражения)

Психология

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Человеческий глаз и ухо используют логарифмическую шкалу яркости и громкости, чтобы «сгладить» большие колебания этих величин.

сказать, играем на логарифмах.
Так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы

расставлены к числу колебаний и к длинам волн звуков, по логарифмической шкале с основанием 2

Ступени гаммы расставлены по шкале log (числу колебаний, длинам волн звуков)

Музыка

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Человеческий глаз и ухо используют логарифмическую шкалу яркости и громкости, чтобы «сгладить» большие колебания этих величин.

2013 год

числе, умножение и деление чисел, возведение в степень, вычисление логарифмов,

тригонометрических функций.

Точность вычисления обычных линеек - два-три десятичных знака

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

порядок вычисляют в уме. Точность вычисления обычных линеек - два-три

десятичных знака. Для выполнения других операций используют бегунок и дополнительные шкалы.
Следует отметить, что, несмотря на простоту, на логарифмической линейке можно выполнять достаточно сложные расчёты. Раньше выпускались довольно объёмные пособия по их использованию.

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Вплоть до 1970-х гг. логарифмические линейки были так же распространены, как пишущие машинки и мимеографы. Ловким движением рук инженер без труда перемножал и делил любые числа и извлекал квадратные и кубические корни. Чуть больше усилий требовалось для вычисления пропорций, синусов и тангенсов.

г.Москва

2013 год

века в России. Стандартная логарифмическая линейка состояла из трех, покрытых

белым целлулоидом, частей.

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

на шкале D. Если число отложить на шкале К, то

на шкале В будет корень третей степени этого числа. Отрезки, нанесенные на эту шкалу, пропорциональны (m/3)*lg X, где m – длина шкалы в миллиметрах (250). На участке от 1 до 2 цена наименьшего деления соответствует 0.02, на участке от 2 до 4 – 0.05, на участке от 4 до 10 – 0.1. На участках от 10 до 20, от 20 до 40, от 40 до 100 значения наименьших делений равны соответственно 0.2, 0.5, 1. А на участках от 100 до 200, от 200 до 400 и от 400 до 1000 - соответственно равны 2,5 и 10.

для вычисления кубов чисел (шкалы D)

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Шкала К

1

4

0,02

0,05

0,1

К

2

20

0,2

0,5

40

40

100

1

К

200

2,5

10

400

1000

Цена наименьшего деления на участках от 1 до 2, от

2 до 5, от 5 до 10, от 10 до 20, от 20 до 50, от 50 до 100 равна соответственно 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5 и 1.
Служат для вычисления квадратов чисел, откладываемых на шкале D. Так же можно с помощью шкал А и В вычислять квадратные корни чисел.

для вычисления квадратов чисел (шкалы D)

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Шкалы А и В

дробная часть десятичного логарифма (шкалы D)

Шкала L

Шкала L – равномерная. На ней отложены мантиссы (дробная часть десятичного логарифма) логарифмов шкалы D. Наименьшее деление этой шкалы соответствует 0.002, а метки, обозначенные цифрами 1,2,3,4.., читаются как 0.1, 0.2, 0.3, 04….

1

5

0,2

A, B

2

20

0,5

1

50

100

0,1

0,05

0,02

нанесены отрезки, пропорциональные m*lg X, при Х изменяемом от 1

до 10. Значение наименьших делений этих шкал на участке от 1 до 2 означает 0.01, на участке от 2 до 4 они означают 0.02, на участке от 4 до 10 – 0.05.

основные

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Шкалы D и C

шкала обратных значений (С и D)

Шкала R

Шкала R – это шкала обратных значений. Она представляет собой шкалу С (D), но в перевернутом виде. Таким образом, метка 10 этой шкалы будет на левом конце, а 1 – на правом. На этой шкале любой отрезок P от начала шкалы равняется 250-250* lg p = 250* lg (1/p).

1

0,01

0,02

D, С

2

шкалы синусов (Sin):

y = k ( lg sin Vs + 1 )
Для шкалы синусов и тангенсов (S&T): y = k [ lg 1/2( sin V + tg V ) +2]
Для шкалы тангенсов (Tg): y = k ( lg tg Vt + 1 )

где Vs и Vt – пометки углов, соответствующие шкалам.

используются при вычислениях с тригонометрическими функциями

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Шкалы Sin, S&T и Tg

от начала до 100 – 5`, на участке от 100

до 200 – 10` , на участке от 200 до 900 - 20`.


Для шкалы тангенсов на участке от начала шкалы до 200 наименьшее деление соответствует 5`, а на участке от 200 до 450 – 10`.


На шкале синусов и косинусов значение наименьшего деления 1` соответствует участку от начала шкалы до 30, и 2` - для участка от 30 и дальше.

используются при вычислениях с тригонометрическими функциями

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Шкалы Sin, S&T и Tg

200

450

5`

Sin

S&T

Tg

На шкалах логарифмической линейки отмечены константы: π =3.14… , М = 1/ π , C =√4/ π C1= C =√40/ π и т.д..
Следует помнить, что каждая метка (риска) на шкалах линейке имеет не одно определенное значение, а всякое другое, которое может быть получено умножением этого значения на 10 в любой степени. То есть, числа … 1525, 152.5, 15.25, 1.525, 0.1525 … будут расположены в одном месте логарифмической линейки.

прудов» г.Москва

2013 год

деление, возведение в степень и извлечение корней, определять натуральные значения

тригонометрических функций заданных углов и по заданным натуральным значениям тригонометрических функций находить соответствующие им углы, определять логарифмы и антилогарифмы чисел, находить логарифмы тригонометрических функций и производить различные вычисления.

Рассмотрим подробно правила выполнения перечисленных выше операций с помощью логарифмической линейки и начнем с умножения и деления.

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

свойстве логарифмов:

lg X*Y = lg X + lg Y lg

X/Y = lg X – lg Y


Следовательно, операция умножения сводится к сложению соответствующих отрезков на логарифмических шкалах C и D, а операция деления – к вычитанию этих отрезков.

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

5.1 Умножение и деление

5.1

шкале D.
2. Передвигаем движок вправо так, чтобы крайняя левая цифра

шкалы C (1) была под указателем бегунка.
3. Ставим указатель бегунка на деление 12 на шкале C.
4. По указателю бегунка считываем число на шкале D (497).
5. Приблизительный результат умножения 497.

X = 41.4 * 12 ~ 496,8

Рассмотрим пример, в котором требуется вычислить X = 41.4 * 12

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Пример на умножение

5.1

D.
2. Перемещаем движок логарифмической линейки влево до совпадения указателя бегунка

с делением 1.31 шкалы С.
3. Устанавливаем указатель бегунка на левую крайнюю цифру шкалы С (1).
4. По указателю бегунка считываем число на шкале D (393).
5. Приблизительный результат деления будет 3.93.
.

y = 5.15/1.31 ~ 3.93

Рассмотрим деление на примере
y = 5.15/1.31

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Пример на деление

5.1

М устанавливают указатель бегунка на деление шкалы D, соответствующее числу

М. По указателю бегунка на шкале А считывают квадрат числа М, а на шкале К – куб числа М. При этом необходимо вручную учитывать порядок результата.

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

5.2 Возведение в степень и извлечение корня

5.2

По указанию бегунка считываем число на шкале А (17.64).
3. Определяем

порядок результата возведения в квадрат. Для этого в первую очередь определяем порядок исходного числа. 42 = 4.2 *101, следовательно, порядок исходного числа 1. Воспользовавшись правилом возведения числа в степень ((Xn)m = Xn*m), определим порядок результата. В нашем случае n = 1 (порядок исходного числа), m = 2 (возведение в квадрат), таким образом, порядок результата будет 1*2 = 2.
4. Приблизительный результат возведения числа 42 в квадрат будет 17.64*102 = 1764.
5. По указанию бегунка считываем число на шкале К (74).
6. Определяем порядок результата возведения в куб. В этом случае n = 1, m = 3, следовательно, порядок результата будет 1*3 = 3.
7. Приблизительный результат возведения числа 42 в куб будет 74*103 = 74000.
.
y =423= 74*103 ~ 74000.

Рассмотрим пример возведения числа 42 в куб и квадрат с помощью логарифмической линейки

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Пример на возведение в степень

5.2

поэтому для того, чтобы извлечь квадратный корень из числа устанавливают

указатель бегунка на деление, соответствующее этому числу на шкале А, а результат извлечения смотрят по указателю бегунка на шкале D. Для извлечения кубического корня указатель устанавливают по шкале К, а результат опять же будет на шкале D. Так же, как и при возведении в степень, порядок результата необходимо рассчитывать вручную..

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

Извлечение корня

5.2

установить на деление шкалы D, соответствующее этому числу. И по

указателю бегунка на шкале L определить мантиссу (дробная часть) логарифма. Затем спереди приписать к ней характеристику (целая часть) логарифма.

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

5.3 Работа с логарифмами

5.3

разнообразные действия над формулами, содержащими тригонометрические функции. Однако, эти шкалы

предназначались только для работы с синусами и тангенсами, поэтому при работе с косинусами и котангенсами было необходимо предварительно выразить их через синусы и тангенсы по формулам:

cos a = sin (900-a);
ctg a = 1/tg a, для а от 00 до 450;
ctg a = tg (900 – a), для а от 450 до 900

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

5.4 Тригонометрические расчеты

5.4

г.Москва

2013 год

2013 год

6

2013 год

6

2013 год

6

самолеты и многое другое, более объемное и менее объемное было

сделано без компьютеров, но с помощью этой линейки. Еще тридцать лет назад представить конструктора или ученого без логарифмической линейки было невозможно. Простое приспособление с бегунком позволило человеку слетать в космос и ступить на Луну, расшифровать структуру ДНК и создать лазеры.

ГБОУ СОШ 310 «У Чистых прудов» г.Москва 2013 год

5.4