Производная 11 класс

В.А.Тамгина
Колосай К.
Кузьмина Е.

касательной прямой
Производные тригонометрической и логарифмической функции
Скорость изменения функции
Схема исследования функций

создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17столетия на основе двух

задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная входе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального

к которому стремится разность отношение

f = f (x0 + x)- f (x0)
x x
при x, стремящемся к нулю

0

0

(a;b) тогда и только тогда, когда f дифференцируема в каждой

точке этого интервала.
Функция f в точке x дифференцируема тогда и только тогда, когда существует предел

lim D(h) = lim f(x0 = h) – f(x0)
h

Этот предел называется производной функции f в точке х или отношением дифференциалов в точке х

0

h 0

h 0

коэффициент: (Cu)’ = Cu’
произведение: (uv)’ = u’v + uv’
частное: (u / v)'=(u'v - uv') / v2

а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0),

то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0, причем:



Например: Найдем производную функции

Так как h(x) = g(f(x)), где

то касательная к графику функции f в точке P0(x0;f(x0))
есть

прямая, проходящая через P0 и имеющая наклон m = f’(x0)

Уравнение касательной к графику функции:

функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В

окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло серая линия C). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
Геометрический смысл производной

движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в

момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.
Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

/ нечетность
3) Нахождение точек пересечения с осями
4) Нахождение промежутков знакопостоянства
5)

Нахождение промежутков возрастания и убывания
6) Нахождение точек экстремума и значений функции в этих точках
7) Исследование поведения функции в окрестностях «особых» точек и бесконечности