Разделы презентаций


Выпуклость и вогнутость функции

Содержание

Вариант 1Самостоятельная работа x³ y = e y = ln (x² +1)Построить график функцииВариант 2

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Выпуклость и вогнутость функции

Презентация к уроку по учебнику «Алгебра и

начала анализа, 10-11»
под редакцией Ш.А.Алимова , § 53
Автор презентации

Бартош Наталья Владимировна,
учитель математики 587 гимназии г. Санкт-Петербурга
Выпуклость и вогнутость функцииПрезентация к уроку по учебнику «Алгебра и начала анализа, 10-11» под редакцией Ш.А.Алимова ,

Слайд 2Вариант 1
Самостоятельная работа


y = e
y =

ln (x² +1)

Построить график функции

Вариант 2

Вариант 1Самостоятельная работа          x³  y = e

Слайд 3


y = e

Слайд 4 y = ln (x² +1)

y = ln (x² +1)

Слайд 5Дана функция у = f (x)
На интервале (а, b)
функция у

= f (x) непрерывна и
дифференцируема,
причем f '(x)

>0

Постройте эскиз графика
функции у = f (x) интервале (а, b)

а b






у

Дана функция у = f (x)На интервале (а, b)функция у = f (x) непрерывна и дифференцируема, причем

Слайд 6Дана функция у = f (x)
Чем отличается поведение линий?

Одна

из них – отрезок
прямой

Другая проходит над
отрезком

Третья – под

отрезком

А четвертая – частично
над отрезком, частично
под ним

а b






у

Дана функция у = f (x) Чем отличается поведение линий?Одна из них – отрезок прямойДругая проходит над

Слайд 7 В математике для обозначения такого поведения существуют специальные понятия:

выпуклости и
вогнутости
графика функции

В математике для обозначения такого поведения существуют специальные понятия:  выпуклости и 	  		вогнутости				графика функции

Слайд 8Выпуклость и вогнутость функции
Геометрический смысл
второй производной

Выпуклость и вогнутость функцииГеометрический смысл второй производной

Слайд 9Выпуклая вверх (выпуклая кривая)
Кривая называется выпуклой вверх
в точке

х = а,
если в некоторой окрестности этой точки она

расположена
под
своей касательной

у

а х

Выпуклая   вверх (выпуклая кривая)Кривая называется выпуклой вверх в точке х = а, если в некоторой

Слайд 10Выпуклая вниз (вогнутая кривая)
Кривая называется выпуклой вниз
в точке

х = а,
если в некоторой окрестности этой точки она

расположена
над
своей касательной

у

а х

Выпуклая   вниз (вогнутая кривая)Кривая называется выпуклой вниз в точке х = а, если в некоторой

Слайд 11Кривая выпуклая вверх на интервале (выпуклая)
у
0 a

b х

Кривая выпуклая вверх на интервале (выпуклая)у 0   a 					      b

Слайд 12Кривая выпуклая вниз на интервале (вогнутая)
у
0 a

b х

Кривая выпуклая вниз на интервале (вогнутая)у 0   a 					  b    х

Слайд 13Как найти интервалы выпуклости и вогнутости?

Как найти интервалы выпуклости и вогнутости?

Слайд 14м1
м2
м3
α1
α2
α3
График функции у = f (х) – вогнутая

кривая
Величина углов α1, α2, α3…
растет,

увеличиваются
и тангенсы этих

углов

В точках М1, М2, М3… проведены касательные

α1 < α2 < α3 < …

м1м2м3α1  α2α3График функции у = f (х) – вогнутая криваяВеличина углов α1, α2, α3… растет, увеличиваются

Слайд 15м1
м2
м3
α1
α2
α3
График функции у = f (х) – вогнутая

кривая
В точках М1, М2, М3… проведены касательные
α1 < α2

α3 < …

тангенсы углов α1, α2, α3… увеличиваются

tgα = f′(х) ,
следовательно, возрастает функция f′(х)

Если функция возрастает, то ее производная положительна

Производная функции f′(х) – это производная производной
(f ′(х))′ = f ′′(х) и f ′′(х) >0

Вывод:
Если график функции – вогнутая кривая, то вторая производная этой функции – положительна.

м1м2м3α1  α2α3График функции у = f (х) – вогнутая криваяВ точках М1, М2, М3… проведены касательныеα1

Слайд 16α1
График функции у = f (х) – выпуклая

кривая
tgα = f′(х) , следовательно, убывает функция f′(х)

В точках

М1, М2, … проведены касательные

производная функции y = f ′(х)
(f ′(х))′ = f ′′(х) - отрицательна, т.е.
f ′′(х) < 0

м1

м2

α1

α2

α1 > α2 > α3 > …

тангенсы углов α1, α2, α3… убывают

Вывод:
Если график функции – выпуклая кривая, то вторая производная этой функции – отрицательна.

α1  График функции у = f (х) – выпуклая криваяtgα = f′(х) , следовательно, убывает функция

Слайд 17Если вторая производная функции
у = f (х)
на

данном интервале положительна, то кривая вогнута
а если

отрицательна – выпукла в этом промежутке
Если вторая производная функции  у = f (х) на данном интервале положительна, то кривая вогнута

Слайд 18Точки, в которых выпуклость
меняется на вогнутость или наоборот,
называются

точками перегиба

Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба

Слайд 19Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции:
Найти:
Вторую производную
Точки, в

которых она равна нулю или не существует
Интервалы, на которые область

определения разбивается этими точками
Знаки второй производной в каждом интервале
Если f '‘(х) < 0, то кривая выпукла,
если f '‘(х) > 0 – вогнута.


Правило нахождения интервалов  выпуклости и вогнутости графика функции:Найти:Вторую производнуюТочки, в которых она равна нулю или не

Слайд 20 Исследование функции с помощью второй производной

Интервалы

выпуклости:
(-3, 0) и (2, 5)
Интервалы вогнутости:
(-∞, -3), (0, 2)

и (5, +∞)





-3 0 2 5 f

х = -3, х = 0, х = 2 х = 5 – точки перегиба

+ - + - + f‘‘

Исследование функции с помощью второй производной Интервалы выпуклости:(-3, 0) и (2, 5)Интервалы вогнутости: (-∞,

Слайд 21График функции
у = f (х) –
вогнутая кривая



График функции
у = f (х) –
выпуклая

кривая








«+»

«-»

График функции у = f (х) – вогнутая кривая   График функции у = f (х)

Слайд 22Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба
Вариант 1

у =

х³ - 12х + 4
Вариант 2

у = ¼ х4 –

3/2 х²
Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегибаВариант 1у = х³ - 12х + 4Вариант 2у =

Слайд 23Проверка Вариант 1
у = х³ - 12х + 4
х – любое

число
f'(х) = 3х² - 12
f''(х) = 6х
6х = 0
х =

0

Интервалы выпуклости:
(-∞, 0)
Интервалы вогнутости:
(0, +∞)


- + f ‘‘

0 f

х = 0 – точка перегиба

Проверка Вариант 1у = х³ - 12х + 4х – любое числоf'(х) = 3х² - 12f''(х) =

Слайд 24Проверка Вариант 2
у = ¼ х4 – 3/2 х²
х – любое

число
f'(х) = х³ - 3х
f''(х) = 3х² - 3 =
3(х

– 1)(х + 1)
х = 1
х = -1

Интервалы выпуклости:
(-1, 1)
Интервалы вогнутости:
(-∞, -1) и (1, +∞)

+ - + f‘‘
-1 1 f

х = 1 и х = -1 – точки перегиба



Проверка Вариант 2у = ¼ х4 – 3/2 х²х – любое числоf'(х) = х³ - 3хf''(х) =

Слайд 25Спасибо за работу Успехов!

Спасибо за работу Успехов!

Теги

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика