Выпуклость и вогнутость функции

начала анализа, 10-11»
под редакцией Ш.А.Алимова , § 53
Автор презентации

x³
y = e
y =

Построить график функции

Вариант 2

= f (x) непрерывна и
дифференцируема,
причем f '(x)

а b

у

из них – отрезок
прямой

Другая проходит над
отрезком

Третья – под

а b

у

выпуклости и
вогнутости
графика функции

х = а,
если в некоторой окрестности этой точки она

у

а х

х = а,
если в некоторой окрестности этой точки она

у

а х

b х

b х

кривая
Величина углов α1, α2, α3…
растет,

увеличиваются
и тангенсы этих

В точках М1, М2, М3… проведены касательные

α1 < α2 < α3 < …

кривая
В точках М1, М2, М3… проведены касательные
α1 < α2

тангенсы углов α1, α2, α3… увеличиваются

tgα = f′(х) ,
следовательно, возрастает функция f′(х)

Если функция возрастает, то ее производная положительна

Производная функции f′(х) – это производная производной
(f ′(х))′ = f ′′(х) и f ′′(х) >0

Вывод:
Если график функции – вогнутая кривая, то вторая производная этой функции – положительна.

кривая
tgα = f′(х) , следовательно, убывает функция f′(х)

В точках

производная функции y = f ′(х)
(f ′(х))′ = f ′′(х) - отрицательна, т.е.
f ′′(х) < 0

м1

м2

α1

α2

α1 > α2 > α3 > …

тангенсы углов α1, α2, α3… убывают

Вывод:
Если график функции – выпуклая кривая, то вторая производная этой функции – отрицательна.

данном интервале положительна, то кривая вогнута
а если

точками перегиба

которых она равна нулю или не существует
Интервалы, на которые область

выпуклости:
(-3, 0) и (2, 5)
Интервалы вогнутости:
(-∞, -3), (0, 2)

-3 0 2 5 f

х = -3, х = 0, х = 2 х = 5 – точки перегиба

+ - + - + f‘‘

График функции
у = f (х) –
выпуклая

«+»

«-»

х³ - 12х + 4
Вариант 2

у = ¼ х4 –

число
f'(х) = 3х² - 12
f''(х) = 6х
6х = 0
х =

Интервалы выпуклости:
(-∞, 0)
Интервалы вогнутости:
(0, +∞)

- + f ‘‘

0 f

х = 0 – точка перегиба

число
f'(х) = х³ - 3х
f''(х) = 3х² - 3 =
3(х

Интервалы выпуклости:
(-1, 1)
Интервалы вогнутости:
(-∞, -1) и (1, +∞)

+ - + f‘‘
-1 1 f

х = 1 и х = -1 – точки перегиба