Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

бесконечно большие последовательности.
Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия и ее сумма».

(1874 – 1946г.)

древность, связано оно с исследованием площадей
фигур и объёмов тел.

Идея предельных переходов была
использована величайшим греческим математиком IV в. до н.э.
Евдоксом Книдским( метод исчерпывания).

Евдокс Книдский
IV в. до н.э.

фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и

доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи. С помощью метода исчерпывания Евдокс нашёл площадь круга, объём пирамиды и конуса.

метод исчерпывания

Архимеда(287 до н. э. — 212 до н. э). который

смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий.

Архимед
(287 до н. э. — 212 до н. э)

частности, он обнаружил, что объём шара составляет 2/3 объёма описанного

вокруг него цилиндра.

Открытия Архимеда

17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642

- 1727), а также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов.

Исаак Ньютон
(1642 – 1727)

Леонард Эйлер
(1707 - 1783)

ЖозефЛуи Лагранж
(1736 – 1813)

определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ,

теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году.

Бернард Больцано
(1781 - 1848)

Огустен Луи Коши
(1789 – 1857)

положительного числа найдётся такое натуральное число N,

что при всех n>N выполняется неравенство :

Геометрически это значит, что для любого ε > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (b – ε, b + ε).

b

b+

b-

b2

b1

b3

b4

b5

b6

иллюстрации — одна из работ голландского художника Маурица Корнелиса Эшера

(1898—1972), вдохновленного этой темой.

В современной математике предел является одним из самых загадочных понятий.

Мир бабочек

(1874 – 1946г.)

, которая в процессе своего изменения, т. е.
с возрастанием номера

n , неограниченно приближается к нулю. Предел этой последовательности равен нулю:

Предел - важнейшее понятие математики.

Последовательность вписанных
все уменьшающихся окружностей
и соответствующую им последовательность длин их диаметров: x1, x2, x3,x4,… .

последовательность сумм их диаметров: y1=x1 ,

y2=x1+x2,
y3=x1+x2+x3,
y4=x1+x2+x3+x4 ,
-----------------

Все диаметры повернём на угол 90°,
тогда предел последовательности yn
равен - длине высоты h
равнобедренного треугольника :