Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Свойства равнобедренного треугольника

с серединой противоположной стороны
На рисунке АА₁ , ВВ₁ и СС₁

Свойства медиан

1. Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1 (считая от вершин треугольника).

2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. (Два треугольника равновелики, если их площади равны.)

3. Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников

на два равных угла
На рисунке отрезок EG – это биссектриса

Свойства биссектрис

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

2. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам. 

треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника. 
В тупоугольном треугольнике две

по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя — основанием. 
Свойства равнобедренного

1 свойство: Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. 

2 свойство: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

проведена биссектриса ВН.
Найти: длины отрезков  АН и НС
Ответ

Решение:
Т. к. АВ=ВС, то ∆АВС – равнобедренный, следовательно АН – биссектриса, медиана и высота
АН=АС= ½ АС
АН=АС= 2 : 2 = 1

45 и 67 градусов.
СН – высота
СК - биссектриса

Найти: угол

Ответ : Угол НСК=11 ˚

А

С

Н

В

Решение:
Угол С равен: 180˚-(45˚+67˚)=68˚
Угол ВК=68˚ : 2 = 34˚
Высота, проведенная из угла С, делит данный треугольник на два прямоугольных треугольника.

К

45

67

Решение:
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом А. Тогда угол при высоте равен 180˚-(90˚+45˚)=45˚
5. Угол НК=45˚-34˚=11 ˚.