Задача Эйлера

Содержание

1. Задача Эйлера
2. Теорема ЭйлераТеорема. Для связного простого графа имеет
3. Решение задачи ЭйлераПредположим, что можно провести непересекающиеся
4. Упражнение 1Посчитайте число вершин (В), ребер (Р)
5. Упражнение 2Посчитайте число вершин (В), ребер (Р)
6. Упражнение 3Два соседа имеют: а) три общих
7. Упражнение 4Три соседа имеют: а) два общих
8. Упражнение 5Четыре соседа имеют четыре общих колодца.
9. Упражнение 6Докажите, что пять домиков нельзя соединить
10. Скачать презентанцию

Теорема ЭйлераТеорема. Для связного простого графа имеет место равенство В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - общее число ребер, Г - число областей (граней),

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Задача Эйлера
Задача. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли

провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?

Задача ЭйлераЗадача. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к

Слайд 2Теорема Эйлера
Теорема. Для связного простого графа имеет место равенство В

- Р + Г = 2, где В - число

вершин, Р - общее число ребер, Г - число областей (граней), на которые граф разбивает плоскость.

Доказательство. Стянем какое-нибудь ребро графа, соединяющее две вершины, в точку. При этом число ребер и число вершин уменьшаться на единицу и, следовательно, В – Р + Г не измениться. Продолжая стягивать ребра, мы придем к графу, у которого имеется одна вершина, а ребрами являются петли. Уберем какое-нибудь ребро. При этом число ребер и число областей уменьшаться на единицу и, следовательно, В – Р + Г не изменится. Продолжая убирать ребра, мы придем к графу, у которого имеется одна вершина и одно ребро. У этого графа В = 1, Р = 1, Г = 2 и, следовательно, В – Р + Г = 2. Значит, для исходного графа также выполняется равенство В – Р + Г = 2.

Теорема ЭйлераТеорема. Для связного простого графа имеет место равенство В - Р + Г = 2, где

Слайд 3Решение задачи Эйлера
Предположим, что можно провести непересекающиеся дорожки от каждого

дома к каждому колодцу. Рассмотрим граф, вершинами которого являются домики

и колодцы, а ребрами – дорожки. У него В = 6, Р = 9 и, следовательно, Г = 5. Каждая из пяти областей ограничена, по крайней мере, четырьмя ребрами, поскольку, по условию задачи, ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Так как каждое ребро разделяет две области, то количество ребер должно быть не меньше (5∙4)/2 = 10, что противоречит тому, что их число равно 9.