Разделы презентаций

Алгебра высказываний. Решение логических задач 10-11 класс

Содержание

Задача 1: Составьте сложное высказывание в словесной форме из простых, заданных математическим формулировкам:Высказывание А: «Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку» Высказывание В: «Учащийся Иванов любит работать на компьютере». А

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Алгебра высказываний
Решение логических задач

Автор:
Сергеев Евгений Викторович
МОУ СОШ №4 г.

Миньяра Челябинской области
sergeev73@mail.ru
http://shk4-minyar.ucoz.ru

Алгебра высказыванийРешение логических задачАвтор: Сергеев Евгений ВикторовичМОУ СОШ №4 г. Миньяра Челябинской областиsergeev73@mail.ruhttp://shk4-minyar.ucoz.ru

Слайд 2Задача 1: Составьте сложное высказывание в словесной форме из простых,

заданных математическим формулировкам:
Высказывание А:
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому

языку»

Высказывание В:
«Учащийся Иванов любит работать на компьютере».

А ∧ В
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку и любит работать на компьютере»

А ∨ В
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку или любит работать на компьютере»

А ∧ ¬В
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку и не любит работать на компьютере»

¬(А ∧ В)
«не (учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку и любит работать на компьютере)» ≡ «Учащийся Иванов плохо успевает по английскому языку и не любит работать на компьютере»

А → В
«учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку, поэтому он любит работать на компьютере»

А → ¬В
«учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку, поэтому он не любит работать на компьютере»

В → А
«учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку, потому, что он любит работать на компьютере»

Задача 1: Составьте сложное высказывание в словесной форме из простых, заданных математическим формулировкам:Высказывание А: «Учащийся Иванов хорошо

Слайд 3Задача 2: Пусть p и q обозначают высказывания: p = «Я

учусь в школе» q = «Я люблю информатику» составьте и запишите следующие

высказывания:

¬p
¬(¬p)

«Я не учусь в школе»
«не(Я не учусь в школе)» ≡ «Я учусь в школе»
«Я учусь в школе и люблю информатику»
«Я учусь в школе и не люблю информатику»
«Я учусь в школе или люблю информатику»
«Я не учусь в школе или люблю информатику»
«Я не учусь в школе или я не люблю информатику»
«Я люблю информатику, потому, что учусь в школе»


p ∧ q
p ∧ ¬q

p ∨ q
¬p ∨ q

¬p ∨ ¬q
q → p

Задача 2: Пусть p и q обозначают высказывания: p = «Я учусь в школе» q =

Слайд 4Задача 3: Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите высказывания на

формальном языке алгебры высказываний
45 кратно 3 и 42 кратно

3
45 кратно 3 и 12 не кратно 3
2 ≤ 5
если 212 делится на 3 и на 4, то 212 делится на 12
212 – трехзначное число, которое делится на 3 и на 4

А ∧ В, где А = «45 кратно 3», В = «42 кратно 3»
А ∧ ¬В, где А = «45 кратно 3», В = «12 кратно 3»
А ∨ В, где А = «2 < 5», В = «2 = 5»
(A ∧ В) → С, где А = «212 делится на 3», В = «212 делится на 4» и С = «212 делится на 12»
А ∧ В ∧ С, где А = «212 – трехзначное число», В = «212 делится на 3» и С = «212 делится на 4»


Задача 3: Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите высказывания на формальном языке алгебры высказываний 45 кратно

Слайд 5Задача 4: Составьте таблицу истинности для функции А ∨ ¬В






A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
¬B
1
0
1
0
A

∨ ¬B
1
0
1
1

Задача 4: Составьте таблицу истинности для функции А ∨ ¬ВA0011B0101¬B1010A ∨ ¬B1011

Слайд 6Задача 5: Какие из следующих импликаций истинны
если 2 × 2

= 4, то 2 < 3
если 2 × 2 =

4, то 2 > 3
если 2 × 2 = 5, то 2 < 3
если 2 × 2 = 5, то 2 > 3


истина
ложь
истина
истина

Таблицы истинности

Задача 5: Какие из следующих импликаций истинныесли 2 × 2 = 4, то 2 < 3если

Слайд 7Задача 6: Какие из следующих высказываний противоречивы
a = 1, a

∧ b = 0
a = 1, a ∨ b =

0
a = 1, a ∧ b = 1
a = 1, a ∨ b = 1
a = 0, a ∧ b = 1
a = 0, a ∨ b = 1
a = 0, a ∧ b = 0
a = 0, a ∨ b = 0


истина
ложь
истина
истина
ложь
истина
истина
истина

Таблицы истинности

Задача 6: Какие из следующих высказываний противоречивыa = 1, a ∧ b = 0a = 1,

Слайд 8Задача 7: Пусть: а = «7 – простое», b =

«7 – составное», с = «8 – простое» и d

= «8 – составное» Определите истинность высказываний

а ∧ с
а ∧ d
b ∧ c
c ∧ d


ложь
истина
ложь
ложь

а ∨ с
а ∨ d
b ∨ c
c ∨ d

истина
истина
ложь
истина

¬а
¬b
¬c
¬d

ложь
истина
истина
ложь

Задача 7: Пусть: а = «7 – простое», b = «7 – составное», с

Слайд 9истина
истина
истина
ложь
истина
истина
истина
истина
истина
истина
ложь
ложь
истина
истина
Задача 8: Какие из следующих высказываний истинны
p → p
p ∨

¬p
¬(p ∧ ¬p)
p ⇔ ¬p
¬p → p
p ⇔ p
(p ∨

p) → p


¬(p ∧ (p ⇔ ¬p))
(p → p) ∨ ¬p
p ⇔ p ∧ (¬p → p ∧ p)
p ∧ (p ⇔ ¬p)
¬(¬p → p)
¬(p ⇔ ¬p)
(p ∨ p) → (p ∧ p)

истинаистинаистиналожьистинаистинаистинаистинаистинаистиналожьложьистинаистинаЗадача 8: Какие из следующих высказываний истинныp → pp ∨ ¬p¬(p ∧ ¬p)p ⇔ ¬p¬p →

Слайд 10Задача 9: Даны значения: x = 0, y = 1,

z = 1. Определите логические значения высказываний
x ∧ (y ∧ z)
(x

∧ y) ∧ z
x → (y → z)
x ∧ y → z
(x ∧ y) ⇔ (z ∨ ¬y)
((x ∨ y) ∧ z) ⇔ ((x ∧ z) ∨ (y ∧ z))


Задача 9: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения

Слайд 11Задача 9.1: Даны значения: x = 0, y = 1,

z = 1. Определите логические значения высказываний
x ∧ (y ∧ z)
x

∧ (1 ∧ 1)
x ∧ 1
0 ∧ 1
0 (ложь)


x ∧ (y ∧ z)

Таблицы истинности

Задача 9.1: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения

Слайд 12Задача 9.2: Даны значения: x = 0, y = 1,

z = 1. Определите логические значения высказываний
(x ∧ y) ∧ z
(0

∧ 1) ∧ z
0 ∧ z
0 ∧ 1
0 (ложь)


(x ∧ y) ∧ z

Таблицы истинности

Задача 9.2: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения

Слайд 13Задача 9.3: Даны значения: x = 0, y = 1,

z = 1. Определите логические значения высказываний
x → (y → z)
x

→ (1 → 1)
x → 1
0 → 1
1 (истина)


x → (y → z)

Таблицы истинности

Задача 9.3: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения

Слайд 14Задача 9.4: Даны значения: x = 0, y = 1,

z = 1. Определите логические значения высказываний
x ∧ y → z
0

∧ 1 → z
0 → z
0 → 1
1 (истина)


x ∧ y → z

Таблицы истинности

Задача 9.4: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения

Слайд 15Задача 9.5: Даны значения: x = 0, y = 1,

z = 1. Определите логические значения высказываний
(x ∧ y) ⇔ (z

∨ ¬y)
(x ∧ y) ⇔ (z ∨ ¬1)
(x ∧ y) ⇔ (z ∨ 0)
(x ∧ y) ⇔ (z ∨ 0)
(0 ∧ 1) ⇔ (1 ∨ 0)
0 ⇔ 1
0 (ложь)


(x ∧ y) ⇔ (z ∨ ¬y)

Таблицы истинности

Задача 9.5: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения

Слайд 16Задача 9.6: Даны значения: x = 0, y = 1,

z = 1. Определите логические значения высказываний
((x ∨ y) ∧ z)

⇔ ((x ∧ z) ∨ (y ∧ z))
((0 ∨ 1) ∧ z) ⇔ ((0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 1))
(( 1 ) ∧ z) ⇔ (( 0 ) ∨ ( 1 ))
(1 ∧ 1) ⇔ (0 ∨ 1)
1 ⇔ 1
1 (истина)


((x ∨ y) ∧ z) ⇔ ((x ∧ z) ∨ (y ∧ z))

Таблицы истинности

Задача 9.6: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения

Слайд 17Задача 10: Упростите выражение: (А ∧ В) ∨ (А

∧ ¬В)
(А ∧ В) ∨ (А ∧ ¬В)
А ∧ (В

∨ ¬В)
А ∧ (В ∨ ¬В)
А ∧ ( 1 )
А


(А ∧ В) ∨ (А ∧ ¬В)

Таблицы истинности

Задача 10: Упростите выражение: (А ∧ В) ∨ (А ∧ ¬В)(А ∧ В) ∨

Слайд 18Задача 11: Упростите выражение: (А ∨ ¬А) ∧ В
(А

∨ ¬А) ∧ В
( 1 )

∧ В
В


(А ∨ ¬А) ∧ В

Таблицы истинности

Задача 11: Упростите выражение: (А ∨ ¬А) ∧ В(А ∨ ¬А) ∧ В(

Слайд 19Задача 12: Упростите выражение: А ∧ (А ∨ В)

∧ (В ∨ ¬В)
А ∧ (А ∨ В) ∧ (В

∨ ¬В)
А ∧ (А ∨ В) ∧ ( 1 )
А ∧ (А ∨ В) ∧ 1 {з-н поглощения}
А ∧ 1
А


А ∧ (А ∨ В) ∧ (В ∨ ¬В)

Таблицы истинности

Задача 12: Упростите выражение: А ∧ (А ∨ В) ∧ (В ∨ ¬В)А ∧

Слайд 20Задача 13: Доказать справедливость закона поглощения для дизъюнкции: А ∨

(А ∧ В) ≡ А по таблицам истинности

Таблицы истинности






A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A ∧

B
0
0
0
1

A ∨ (А ∧ B)
0
0
1
1

Задача 13: Доказать справедливость закона поглощения для дизъюнкции: А ∨ (А ∧ В) ≡

Слайд 21Задача 14: Доказать справедливость закона поглощения для конъюнкции: А ∧

(А ∨ В) ≡ А по таблицам истинности

Таблицы истинности






A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A ∨

B
0
1
1
1

A ∧ (А ∨ B)
0
0
1
1

Задача 14: Доказать справедливость закона поглощения для конъюнкции: А ∧ (А ∨ В) ≡

Слайд 22Задача 15: Доказать справедливость первого закона де Моргана: ¬(А ∨

В) ≡ ¬А ∧ ¬В по таблицам истинности

Таблицы истинности






A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
¬A
1
1
0
0
¬B
1
0
1
0
A ∨

B
0
1
1
1

¬(A ∨ B)
1
0
0
0

¬A ∧ ¬B
1
0
0
0

Задача 15: Доказать справедливость первого закона де Моргана: ¬(А ∨ В) ≡ ¬А ∧ ¬В

Слайд 23Задача 16: Доказать справедливость второго закона де Моргана: ¬(А ∧

В) ≡ ¬А ∨ ¬В по таблицам истинности

Таблицы истинности






A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
¬A
1
1
0
0
¬B
1
0
1
0
A ∧

B
0
0
0
1

¬(A ∧ B)
1
1
1
0

¬A ∨ ¬B
1
1
1
0

Задача 16: Доказать справедливость второго закона де Моргана: ¬(А ∧ В) ≡ ¬А ∨ ¬В

Слайд 24Задача 17:

Составить расписание занятий так, чтобы математика была первым

или вторым уроком, информатика первым или третьим уроком, а физика

– вторым или третьим.
В расписании всего три урока. Сколько вариантов расписания с такими условиями можно составить?
Задача 17: Составить расписание занятий так, чтобы математика была первым или вторым уроком, информатика первым или третьим

Слайд 25Задача 17. Решение

Пусть:
М1 = «Математика первым уроком»
М2 = «Математика вторым

уроком»
И1 = «Информатика первым уроком»
И3 = «Информатика третьим уроком»
Ф2 =

«Физика вторым уроком»
Ф3 = «Физика третьим уроком»
Тогда расписание можно свести к выражению:
(М1 ∨ М2) ∧ (И1 ∨ И3) ∧ (Ф2 ∨ Ф3)
Задача 17. РешениеПусть:М1 = «Математика первым уроком»М2 = «Математика вторым уроком»И1 = «Информатика первым уроком»И3 = «Информатика

Слайд 26Задача 17. Решение. Раскрытие скобок

(М1 ∨ М2) ∧ (И1 ∨

И3) ∧ (Ф2 ∨ Ф3)
(М1∧И1 ∨ М1∧И3 ∨ М2∧И1 ∨

М2∧И3) ∧ (Ф2 ∨ Ф3)
М1·И1·Ф2 ∨ М1·И3·Ф2 ∨ М2·И1·Ф2 ∨ М2·И3·Ф2 ∨ ∨ М1·И1·Ф3 ∨ М1·И3·Ф3 ∨ М2·И1·Ф3 ∨ М2·И3·Ф3
Выбираем только непротиворечивые комбинации:
Ответ:
1 вариант – Математика, Физика, Информатика
2 вариант – Информатика, Математика, Физика

М1·И1·Ф2 ∨ М1·И3·Ф2 ∨ М2·И1·Ф2 ∨ М2·И3·Ф2 ∨ ∨ М1·И1·Ф3 ∨ М1·И3·Ф3 ∨ М2·И1·Ф3 ∨ М2·И3·Ф3

Задача 17. Решение. Раскрытие скобок(М1 ∨ М2) ∧ (И1 ∨ И3) ∧ (Ф2 ∨ Ф3) (М1∧И1 ∨ М1∧И3

Слайд 27Задача 18:

В одной из смежных аудиторий может быть либо

кабинет информатики, либо кабинет физики.
На одной двери написано: «В

одном из этих двух кабинетов точно есть кабинет информатики», а на двери другого: «Кабинет информатики не здесь».
Известно также, что высказывания на табличках тождественны.

Определить, где какой кабинет
Задача 18: В одной из смежных аудиторий может быть либо кабинет информатики, либо кабинет физики. На одной

Слайд 28Задача 18. Решение

Пусть: А= «Информатика в кабинете 1», В=

«Информатика в кабинете 2»
Тогда: ¬А= «Физика в кабинете 1», ¬В= «Физика

в кабинете 2»
Высказывание «В одном из этих двух кабинетов точно есть кабинет информатики»: Х = А ∨ В,
Высказывание «Кабинет информатики не здесь»: Y = ¬А
Исходя из условия: X ⇔ Y, т.е.
Y = (¬X ∨ Y) ∧ (¬Y ∨ X ) ⇒ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Y ∨ X ) ∨ ¬Y
Заменяем X и Y их выражениями:
(¬(А ∨ В) ∨ ¬А) ∧ (¬(¬А) ∨ (А ∨ В) ) ∨ ¬(¬А)
Задача 18. Решение Пусть: А= «Информатика в кабинете 1», В= «Информатика в кабинете 2»Тогда: ¬А=

Слайд 29Задача 18. Решение (продолжение)

(¬(А ∨ В) ∨

¬А) ∧ (¬(¬А) ∨ (А ∨ В) ) ∨ ¬(¬А)
Упрощаем

выражение:
((¬А ∧ ¬В) ∨ ¬А) ∧ (А ∨ (А ∨ В)) ∨ А ⇒

(¬(А ∨ В) ∨ ¬А) ∧ (¬(¬А) ∨ (А ∨ В) ) ∨ ¬(¬А)

((¬А ∧ ¬В) ∨ ¬А) ∧ (А ∨ (А ∨ В)) ∨ А ⇒
((¬А ∨ ¬А) ∧ (¬В ∨ ¬А)) ∧ (А ∨ А ∨ В ∨ А) ⇒
(¬А ∧ (¬В ∨ ¬А)) ∧ (А ∨ В) ⇒
¬А ∧ (А ∨ В) ⇒
(¬А ∧ А) ∨ (¬А ∧ В) ⇒
¬А ∧ В
Т.о. выражение ¬А ∧ В соответствует высказыванию:
«Физика в кабинете 1 и информатика в кабинете 2»

Задача 18. Решение (продолжение) (¬(А ∨ В) ∨ ¬А) ∧ (¬(¬А) ∨ (А ∨ В)

Слайд 30Задача 19.

Следователь допрашивает Клода, Жака и Дика.
Клод утверждает,

что Жак лжет, Жак обвинял во лжи Дика, а Дик

призывает не слушать ни того, ни другого.
Кто из допрашиваемых говорил правду?

Решение:
Пусть показания свидетелей будут назваться буквами К, Ж и Д. Тогда известно, что:
Если Клод сказал правду (К), то Жак лжет (¬Ж), иначе (если Клод солгал, ¬К), то Жак сказал правду (Ж)
Если Жак сказал правду (Ж), тогда Дик не прав, (¬Д), иначе лжет Жак (¬Ж), а Дик – прав (Д)
Если лжет Дик (Д), то Клод и Жак правы (Ж и К), иначе последние лгут (¬(Ж и К)), а Дик – прав (Д)
Задача 19. Следователь допрашивает Клода, Жака и Дика. Клод утверждает, что Жак лжет, Жак обвинял во лжи

Слайд 31Задача 19. Решение

Выразим эти высказывания на формальном языке логики:
К ∧

¬Ж ∨ ¬К ∧ Ж
Ж ∧ ¬Д ∨ ¬Ж ∧

Д
Д ∧ ¬К ∧ ¬Ж ∨ ¬Д ∧ (К ∨ Ж)
Задача будет решена, если все три высказывания будут истинны, т.е. истинна их конъюнкция:
(К·¬Ж ∨ ¬К·Ж) ∧ (Ж·¬Д ∨ ¬Ж·Д) ∧ (Д·¬К·¬Ж ∨ ¬Д·(К ∨ Ж))
(К·¬Ж· Ж·¬Д ∨ К·¬Ж·¬Ж·Д ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д ∨ ¬К·Ж·¬Ж·Д) ∧
∧ (Д·¬К·¬Ж ∨ ¬Д·К ∨ ¬Д·Ж)
(К·¬Ж·¬Ж·Д ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д) ∧ (Д·¬К·¬Ж ∨ ¬Д·К ∨ ¬Д·Ж)
(К·¬Ж·¬Ж·Д·Д·¬К·¬Ж ∨ К·¬Ж·¬Ж·Д·¬Д·Ж ∨ К·¬Ж·¬Ж·Д·¬Д·Ж ∨ ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д·Д·¬К·¬Ж ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж ∨ ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж
¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж ≡ ¬К ∧ ¬Д ∧ Ж
Итак, только Жак говорил правду

(К·¬Ж ∨ ¬К·Ж) ∧ (Ж·¬Д ∨ ¬Ж·Д) ∧ (Д·¬К·¬Ж ∨ ¬Д·(К ∨ Ж))

Задача 19. РешениеВыразим эти высказывания на формальном языке логики:К ∧ ¬Ж ∨ ¬К ∧ ЖЖ ∧ ¬Д

Слайд 32Задача 20.

Нерадивый студент сдает компьютерный тест. Все ответы сводятся

к ответам типа «Да» или «Нет». Один правильный ответ –

один балл. Студенту известно, что:
Первый и последний ответы противоположны
Второй и четвертый ответы одинаковы
Хотя бы один из первых двух ответов – «Да»
Если четвертый ответ «Да», то пятый – «Нет»
Ответов «Да» больше, чем ответов «Нет»

Требуется получить 4 или более баллов
Задача 20. Нерадивый студент сдает компьютерный тест. Все ответы сводятся к ответам типа «Да» или «Нет». Один

Слайд 33Задача 20. Решение

Пусть:
Первый ответ «Да»
Второй ответ «Да»
Третий ответ «Да»
Четвертый ответ

«Да»
Пятый ответ «Да»
Тогда:
A ∧ ¬E
B ∧ D
A ∨ B
D →

¬E ≡ ¬D ∨ ¬E

Отсюда:

(A ∧ ¬E) ∧ (B ∧ D) ∧ (A ∨ B) ∧ (¬D ∨ ¬E) ⇒
⇒ A¬EBD ∧ (A ∨ B) ∧ (¬D ∨ ¬E) ⇒
⇒ A¬EBD ∧ (A¬D ∨ A¬E ∨ B¬D ∨ B¬E) ⇒
⇒ A¬EBD ∨ A¬EBD ⇒ A¬EBD

Задача 20. РешениеПусть:Первый ответ «Да»Второй ответ «Да»Третий ответ «Да»Четвертый ответ «Да»Пятый ответ «Да»Тогда:A ∧ ¬EB ∧ DA

Слайд 34Таблицы истинности
Конъюнкция






A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A ∧ B
0
0
0
1
Дизъюнкция






A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
А ∨ В
0
1
1
1
Импликация






A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A → B
1
1
0
1
Эквиваленция






A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
А ⇔

В
1
0
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

Таблицы истинности КонъюнкцияA0011B0101A ∧ B0001ДизъюнкцияA0011B0101А ∨ В0111ИмпликацияA0011B0101A → B1101ЭквиваленцияA0011B0101А ⇔ В10011234567899.19.29.39.49.59.6101112131415161718192021222324

Похожие презентации

Сложные условия на Паскале. Операторные скобки Сложные условия на Паскале. Операторные скобки 335
Правила общения по электронной почте Правила общения по электронной почте 658
Векторная и растровая графика Векторная и растровая графика 314
Язык запросов SQL. Введение Язык запросов SQL. Введение 346
Творческий отчет по теме: Электронные таблицы Творческий отчет по теме: Электронные таблицы 330
Условный оператор. Оператор выбора Условный оператор. Оператор выбора 430
Алгоритмы на графах. Топологическая сортировка отсечением вершин Алгоритмы на графах. Топологическая сортировка отсечением вершин 242
Мой мобильный телефон: проблема выбора Мой мобильный телефон: проблема выбора 516
Оценивание количественных параметров информационных объектов Оценивание количественных параметров информационных объектов 506
Текст и текстовый редактор Текст и текстовый редактор 367
Основные понятия компьютерной графики Основные понятия компьютерной графики 226
История развития вычислительной техники История развития вычислительной техники 636
Операции импликация и эквивалентность Операции импликация и эквивалентность 490
Создание и изменение таблиц Создание и изменение таблиц 393
Решение задачи в VB, VBA(Word),VBA(Excel) Решение задачи в VB, VBA(Word),VBA(Excel) 502
Угрозы Интернета Угрозы Интернета 664
Программное обеспечение компьютера Программное обеспечение компьютера 294
Алфавитный подход к измерению количества информации 8 класс Алфавитный подход к измерению количества информации 8 класс 293
История развития вычислительной техники (11 класс) История развития вычислительной техники (11 класс) 343
Положительное и отрицательное влияние сети Интернет Положительное и отрицательное влияние сети Интернет 410

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика