Математическая логика формы мышления

и сложных управляющих систем. Используя методы и средства логической науки,

ученые разрабатывают эффективные языки программирования.
Особое значение логическая наука стала приобретать в вопросах, касающихся проблемы искусственного интеллекта. Именно здесь разработчикам пришлось создать новую область логических исследований – логический анализ.

так же информация другого рода: буквы, знаки и др.) представлена

в виде двоичных кодов. При выполнении программы арифметическо-логическое устройство (АЛУ) производит различные операции над двоичными числами, выдавая результаты также в виде двоичных чисел. Поэтому АЛУ можно рассматривать как сложный функциональный преобразователь, на вход которого поступают исходные двоичные числа, а на выходе выдаётся новое двоичное число, являющееся той или иной функцией от входных чисел.

– слово, мысль, понятие, закон, рассуждение) – наука о законах

и формах мышления.
Основоположник – Аристотель (384-322гг до н.э). Рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, т.е. с формальной стороны. Так возникла формальная логика.

вопрос, как мы рассуждаем, изучающая логические операции и правила мышления.
Основоположник

математической логики – нем.математик, философ Вильгельм Лейбниц (XVII в.). Первый пытался построить логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические; высказал мысль о возможности применения двоичной СС в вычислительной математике.
Дальнейшее развитие его идеи получили лишь в XIXв. В трудах математика Джорджа Буля, отца писательницы Э. Войнич. Он вывел для логических построений особую алгебру – алгебру логики.
Опр: Раздел математики, занимающийся исследованием логических функций, называется алгеброй логики.

семье философа, профессора университета в городе Лейпциге. Став взрослым и

получив университетское образование, Лейбниц поступил на дипломатическую службу. Поездки в Париж и Лондон дали ему возможность ознакомиться с идеями великих математиков Франции и Англии. В 1676 году Лейбниц завязал переписку с Ньютоном. К сожалению, она продолжалась только год и не привела к объединению усилий.
Научное соперничество и взаимная неприязнь Ньютона и Лейбница породили вопрос, который много лет волновал историков и политиков: кто же все-таки был первооткрывателем? Вероятно, Ньютон придумал основные понятия дифференциального и интегрального исчислений чуть раньше - зато Лейбниц первым опубликовал свои результаты, и к тому же применил более удобную, чем у Ньютона, систему обозначений. Эти обозначения математики используют уже более трёхсот лет.

в Стагире в 384 или 383 до н.э., умер в

Халкиде в 322 до н.э. Почти двадцать лет Аристотель учился в Академии Платона и, по-видимому, какое-то время там преподавал.

Аристотель регулярно читал своим ученикам и помощникам лекции по самым разнообразным предметам.
Труды Аристотеля можно разделить по следующим группам:
Во-первых, это труды по логике, обычно собирательно именуемые Органон. Сюда входят Категории; Об истолковании; Первая аналитика и Вторая аналитика; Топика.
Во-вторых, Аристотелю принадлежат естественнонаучные труды. В-третьих, мы располагаем сводом текстов под названием Метафизика, представляющим собой цикл лекций. В-четвертых, имеются труды по этике и политике.
Философия Аристотеля. Аристотель нигде не говорит, что логика является частью собственно философии. Он воспринимает ее скорее в качестве методологического инструмента всех наук и философии, а не самостоятельного философского учения. Понятно, что логика должна предшествовать философии.

отца. Хотя мальчик посещал местную школу, его можно считать самоучкой.

В 12 лет знал латынь, затем овладел греческим, французским, немецким и итальянским языками. В 16 лет уже преподавал в деревенской школе, а в 20 открыл собственную школу в Линкольне.

В 1854 году опубликовал работу «Исследование законов мышления, базирующихся на математической логике и теории вероятностей». Работы 1847 и 1854 годов положили начало алгебре логики, или булевой алгебре. Буль первым показал, что существует аналогия между алгебраическими и логическими действиями, так как и те, и другие предполагают лишь два варианта ответов – истина или ложь, нуль или единица. Он придумал систему обозначений и правил, пользуясь которыми можно было закодировать любые высказывания, а затем манипулировать ими как обычными числами. Булева алгебра располагала тремя основными операциями – И, ИЛИ, НЕ, которые позволяли производить сложение, вычитание, умножение, деление и сравнение символов и чисел. Таким образом, Булю удалось подробно описать двоичную систему счисления. В своей работе «Законы мышления» (1854 г.) Буль окончательно сформулировал основы математической логики. Он также попытался сформулировать общий метод вероятностей, с помощью которого из заданной системы вероятных событий можно было бы определить вероятность последующего события, логически связанного с ними.

какие нет; описать и исследовать те способы рассуждений, которые являются

правильными.
Пример неправильного рассуждения …

осуществляется мышление: понятие, суждение, умозаключение.
Запишите определение:
Понятие – мысль, в которой

обобщаются и выделяются предметы некоторого класса по определенным, общим и в совокупности специфическим для них признакам.

собой различные суждения (высказывания):
Запишите определение:
Суждением (высказыванием) называется всякое утверждение (или

всякое предложение), о котором можно судить, истинно оно или ложно. Истинное высказывание обозначается - 1, ложное - 0

«6 - четное число» - это высказывание, т.к. оно истинное.
«Рим - столица Франции» - это тоже высказывание т.к. оно ложное.

из одного или нескольких суждений (предпосылок, условий) выводится новое суждение

(заключение, вывод).

взаимосвязанных суждений, фактов и общих положений по определенным правилам вывода.

стороны параллельны.
В параллелограмме противоположные углы равны.
Если в 4-х угольнике две

стороны параллельны и равны, то этот 4-х угольник – параллелограмм.
Назовите к каким формам мышления относится каждое предложение. В умозаключении назовите условие и заключение. Приведите свои примеры понятия, суждения, умозаключения.

«ученик десятого класса» и «информатика - интересный предмет» не являются

высказываниями.
Первое предложение ничего не утверждает об ученике.
Второе использует слишком неопределенное понятие «интересный предмет».

не известно, какое значение принимает переменная и, соответственно, неизвестно будет

истинным это предложение или ложным.
2. Восклицательные и вопросительные предложения,
это не повествовательные предложения.
3. Определения.
мы не можем судить о том истинно такое предложение или ложно, ведь определение – это мы что-то так назвали и расшифровали, что это такое. Кто-то может сказать, что это не так и придумать своё определение.

«у него голубые глаза» не являются высказываниями, так как для

выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения, о каком конкретно городе или человеке идет речь.
Такие предложения называются высказывательными формами .
Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

– нельзя сказать 1 или 0)
2. 50 = 42 +

8 (высказывание, 1)
3. Я сижу за компьютером (высказывание, 1)
4. В атаку! (не является высказыванием - восклицательное)
5. 5х – 6 = 9 (не является высказыванием – есть переменная)
6. 9 > 12 (высказывание, 0)
7. х < 43 (не является высказыванием – есть переменная)
8. Здравствуйте (не является высказыванием – нельзя сказать 1 или 0)
9. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат на одной плоскости и не пересекаются (не является высказыванием, так как определение)

истинности?
а) «Сижу и смотрю» б) «Верно ли, что π = 3,1415926…?» в)

«математическое доказательство» г) «z+5=45» д) «20+30+40+10=100»

высказыванием;
с) высказывательной формы.
(запишите в тетрадь)

«Сумма цифр трехзначного числа равна 7»
B = «Цифры десятков и

единиц одинаковы»

– 2 > 3»
Общие –
характеризуют свойства группы объектов или

явлений.
Например:
«В любом прямоугольном треугольнике есть прямой угол»
«X2 ≥ 0»

– столица России» (простое, ложное)
Сложные суждения –
Образованы из нескольких

суждений с помощью определенных способов соединения суждений.
«Если в 4-х угольнике все стороны равны, то этот 4-х угольник является ромбом»

погода (простое)
2. Когда я пойду домой, по дороге куплю хлеб

(сложное, состоит из двух простых: «я пойду домой» и «я по дороге куплю хлеб»)
3. Если из двух вычесть пять, то получится восемь (простое: «из двух вычесть пять» и «получится восемь» – сами по себе не являются высказываниями)
4. Если 2+3=5 - истина, то 5=2+3 – тоже истина (сложное: «2+3=5 - истина» и «5=2+3 – тоже истина»).

укажите значение истинности для каждого суждения: а) (x + y) (x

– y) = x2 – y2 б) «Любой ромб является параллелограммом» в) «a3=a2, если a=1» г) 32 + 22 = 52 д) «Меркурий – спутник Марса» е) «Джордано Бруно – ученик Галилео Галилея»

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого

треугольника, то такие треугольники равны. б) Есть мера вещей и существуют известные границы (афоризм Горация) в) Студент запланировал выполнить следующие дела: подготовиться к зачету, побывать на тренировке, почитать книгу. г) Если завтра будет туман, мы не сможем вылететь на соревнования

суждением; в) частного и общего суждения; г) простого и сложного суждения.

суждение, умозаключение, рассуждение?
Какие значения могут принимать суждения?
Какие суждения называют

частными и общими?
Что такое простое и сложное высказывание?
Приведите примеры.

Если 12 делится на 6, то делится и на 3

(простые высказывания: «12 делится на 6» и «12 делится на 3»; связь «если, то»).
2. На улице льёт дождь или светит солнце (простые высказывания: «на улице льёт дождь» и «на улице светит солнце»; связь «или»)
3. Дома отключили свет и воду (простые высказывания: «дома отключили свет» и «дома отключили воду»; связь «и»)
4. Два числа равны тогда и только тогда, когда их разность не равна нулю (простые высказывания: «два числа равны» и «разность двух чисел не равна нулю»; связь «тогда и только тогда, когда» и «не»)

«если …, то», «тогда и только тогда» и другие позволяют

из уже заданных высказываний строить сложные высказывания.
Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Иначе они называются ...

что дождя не будет
Таблица истинности
Логическое отрицание
1) НЕ
2)

НЕВЕРНО, ЧТО

голубое.
А&В - Дождя не будет и небо голубое.
Таблица истинности:
Логическое умножение
И

используя логическую связку «И».
б) Определите истинность или ложность каждого

из трех высказываний

голубое.
А V В - Дождя не будет или небо голубое.
Таблица

истинности:

Логическое сложение
ИЛИ

используя связку «ИЛИ».
б) Определите истинность или ложность каждого из

трех высказываний.

в скобках

_ _
X

= (A & B ) V ( A & B)

______
X = (A & B V C) V ( A & C)

использованием всех рассмотренных логических операций.

операции.
Разобрали для каждой логической операции таблицу истинности.

xor В - Либо дождя не будет, либо небо голубое.
Таблица

истинности:

ЛИБО, ЛИБО

используя связку «ЛИБО, ЛИБО».
б) Определите истинность или ложность каждого из

трех высказываний

В - Если дождя не будет, то небо голубое.
Таблица истинности:
Условная

связь
ЕСЛИ, ТО

используя связку «ЕСЛИ, ТО...».
б) Определите истинность или ложность каждого из

трех высказываний

Дождя не будет тогда и только тогда, когда небо голубое.
Таблица

истинности:

1) Если и только если
2) Тогда и только тогда, когда

используя связку.
б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний