Подготовка к ЕГЭ "Задание 1 "Системы счисления""

теорией, компьютерные специалисты иногда забывают о той роли, которую сыграли

системы счисления в истории компьютеров.
А.П. Стахов

Разработала Фоминова Елена Владимировна, учитель физики и информатики МБОУ СОШ № 23 МО Усть-Лабинский район Краснодарского края

помощи символов некоторого алфавита (цифр).

Система счисления
Система счисления
позиционные
непозиционные
Позиционные СС: количественные значения

цифр зависят от их позиций (разрядов) в числе, что позволяет при помощи небольшого набора цифр записывать практически любые по величине числа.

5*102 + 5*101 + 5*100 1112 = 1*22 + 1*21

+ 1*20

количество знаков, используемых для изображения цифр в данной системе счисления.
Двоичная

СС

ОСНОВАНИЕ: 2
АЛФАВИТ: 0 , 1
Числа: 0, 1, 10, 11, 100, 101 и т.д.

Троичная СС

ОСНОВАНИЕ: 3
АЛФАВИТ: 0 , 1, 2
Числа: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100 и т.д.

Восьмеричная СС

ОСНОВАНИЕ: 8
АЛФАВИТ: 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20 и т.д

Шестнадцатеричная СС

ОСНОВАНИЕ: 16
АЛФАВИТ: 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F
Числа: 0, 1, 2, …, 7, 8, 9, A, …..F, 10, 11, …19, 1A, 1B, …..1E, 1F, 20 и т.д.

по её месту в записи числа, т.е. «вес» каждого разряда.
Базис

позиционной СС

Пример. Базисы некоторых систем счисления.
Десятичная система: …, 0,001, 0,01, 1, 10, 102, 103, 104, ..., 10n, ...
Двоичная система: …,1/4, 1/2, 1, 2, 22, 23, 24, ..., 2n, ...
Восьмеричная система: …1/64, 1/8, 1, 8, 82, 83, 84, ..., 8n, ...

Базисы приведенных систем счисления образуют геометрические прогрессии со знаменателями 10, 2 и 8.
…, P-3 , P-2 , P-1 , 1 , P, P2 , PЗ ,…,Pn , …

(n-1)!, n!, …(основана на определении факториала)
Фибоначчиева система: 1, 2, 3,

5, 8, 13, 21, …(каждое следующее число равно сумме предыдущих двух).

Нетрадиционные системы счисления

целых разрядов, m-количество дробных разрядов:

А10 =а n-1 a n-2 …a0

, a -1….a-m .


Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

Свернутая форма числа

виде:
Развернутая форма числа
А – само число
q – основание системы счисления
а

i – цифры данной системы счисления
n – число разрядов целой части числа
m – число разрядов дробной части числа

удается избавиться от возведения основания системы в степени.
Форма (схема) Горнера

2175,83
А5 = 321,43
А16 = Е71С,3В
А2 = 10101,101
А10= 7465,762
Задание. Необходимо записать

данные числа в развернутой форме

значением числа в десятичной системе счисления.
Перевод чисел из любой системы

счисления в десятичную

системы счисления.

Схема перевода числа
из десятичной системы счисления
в двоичную
19

2 Делим число на 2 с остатками:
18 9 2 – либо 0;
1 8 4 2 – либо 1.
1 4 2 2 Число в двоичной системе счисления
0 2 1 записывается из остатков от деления,
0 начиная с последнего.

1910 → 2

1910 = 100112.

системы счисления.

Схема перевода числа
из десятичной системы счисления
в восьмеричную
219

8 Делим число на 8 с остатками:
216 27 8 от 0 до 7
3 24 3
3 Число в восьмеричной системе счисления
записывается из остатков от деления,
начиная с последнего.

21910 → 8

21910 = 3338.

системы счисления.

Схема перевода числа
из десятичной системы счисления
в шестнадцатеричную

525 16 Делим число на 16 с остатками:
512 32 16 от 0 до 15
13 32 2
0 Число в восьмеричной системе счисления
записывается из остатков от деления, начиная с последнего.
Если остаток от деления превышает цифру 9, то полученную цифру заменяем соответствующей буквой.

52510 → 16

52510 = 20D16.

«троек чисел».

Схема перевода числа
из двоичной системы счисления
в восьмеричную
101110011112

→ 8

101110011112 = 27178

010|111|001|1112 = 27178 Отделяем в числе по три цифры,
начиная с конца.

Если в последней скобке не хватает цифр, дописываем нули.
Значение триад смотрим в соответствующей таблице.

из двоичной системы счисления
в шестнадцатиричную
101110011112 → 16
101110011112 =

5CF16

0101|1100|11112 = 5CF16 Отделяем в числе по четыре цифры,
начиная с конца.

Если в последней скобке не хватает цифр, дописываем нули.
Значение тетрад смотрим в соответствующей таблице.

0,
числа, которые делятся на 4 (4= 22), оканчиваются на

00,
числа, которые делятся на 8 (8= 23), оканчиваются на 000,
и т.д.,
числа, которые делятся на 2k, оканчиваются на k нулей;

нечетные числа оканчиваются на 1;

если число N принадлежит интервалу 2k-1  N < 2k, в его двоичной записи будет всего k цифр,

например, для числа 125:
26 = 64  125 < 128 = 27,
125 = 11111012 (7 цифр)

единица и k нулей, например:
8 = 23 = 10002 ,

16 = 24 = 100002, 32 = 25 = 1000002

числа вида 2k-1 записываются в двоичной системе k единиц, например:
7= 23-1 = 1112, 15 = 24-1 = 11112, 31 = 25-1 = 111112

если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например:
15 = 11112, 30 = 111102, 60 = 1111002, 120 = 11110002

решения достаточно знать двоичные коды чисел от 1 до 9

и от А до F, поскольку для перевода шестнадцатеричного числа в двоичную систему достаточно каждую цифру отдельно записать в виде четверки двоичных чисел(тетрады):
2АС116 = 101010110000012
в этой записи 6 единиц.

решения достаточно знать двоичные коды чисел от 1 до 7,

поскольку для перевода восьмеричного числа в двоичную систему достаточно каждую цифру отдельно записать в виде тройки двоичных чисел(триады):

345678 = 111001011101112
в этой записи 10 единиц

нулей и две единицы. Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Пример 3

Ответ: 65

Решение:
Значащие нули не могут стоят в начале числа, следовательно в начале стоит 1, а наименьшее число предполагает единицу в конце числа:
1 000 001 2 = 26+20=64+1=65

условию
N

все числа в десятичную систему счисления:
N=101001112 = 27+25+22+21+20=128+32+4+2+1=167
М=А916=А·16+9·160=10·16+9=169
167Следовательно, К=168

http://www.kab35.ru/wpimages/wpc58224db_06.png
Слайд 8 http://kazan.czm.su/sites/default/files/vajno-znat.jpg
https://begobike.com/wp-content/uploads/2016/07/Chitaem-pravila-gonol-na-begovelakh-1.jpg
Слайд 19 http://til-lit.narod.ru/rekomend_K.jpg
Слайд 20,21 ноль http://5dimensions.se/wp-content/uploads/2016/04/red-number-0.jpg
Единица http://www.theintentionallife.com/wp-content/uploads/2014/12/1.jpg
Слайд 22

http://www.yiliti.com/d/file/20160320/658-151111092Q4M9.jpg
http://www.kab35.ru/wpimages/wpc58224db_06.png
Слайд 23-26 http://wealthinoptions.com/wp-content/uploads/2014/11/18853285_ml.jpg

Интернет-ресурсы

«Экзамен», 2017
Крылов С.С., Чуркина Т.Е. ЕГЭ 2017. Информатика и ИКТ:

типовые экзаменационные варианты: 20 вариантов. –М.: Издательство «Национальное образование», 2017
Поляков К.И. Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера. http://kpolyakov.spb.ru

Список использованной литературы