Методическая разработка : Обработка массивов и матриц

1191, г. Москва

и матрицы с числовыми компонентами. В языках программирования все элементы

массива объединяются общим именем – идентификатором массива. Элементы массива последовательно располагаются в памяти компьютера.
При обращении к элементу массива указывается имя массива (идентификатор), индекс и тип.

Определения и понятия

В математике, экономике, информатике часто используются различные наборы данных: последовательности чисел, списки фамилий, таблицы. Для обработки наборов однотипных данных мы введем понятие массива.

состоит из восьми элементов. Количество индексов в списке определяет размерность

массива. 

А1, А2, А3, А4, А5, А6, А7, А8

Массивы, элементы которых имеют два индекса, называют двумерными. Например, массив А8

Если каждый элемент массива имеет только один индекс, то такой массив называют линейным или одномерным.

таком массиве каждый элемент имеет двойной индекс. Первая цифра индекса

указывает номер строки, вторая номер столбца. Элементы, где номер строки и номер столбца одинаковы, называют элементами главной диагонали. Так как каждый элемент массива имеет индекс, то индекс показывает место элемента в массиве.
В матрице каждый элемент определяется номером строки и номером столбца, на пересечении которых он находится.

0 до 10. Ниже представлен фрагмент этой программы, в котором

значения элементов массива сначала задаются, а затем меняются.  A[0] := 1;  for i := 1 to 10 do  A[i] := 2+A[i-1];  for i := 0 to 5 do  A[10-i] := A[i]-1;  Чему будут равны элементы этого массива? 

Решение.

Решение задач

a[9]=a[1]-1 = 2,  ...  i=5: a[5]=a[5]-1 = 10, 
Первый цикл, заполняем массив:  i=0: a[0]=1,  i=1:

a[1]=3,  i=2: a[2]=5,  i=3: a[3]=7,
i=4: a[4]=9,   ...  i=10: a[10]=21

Поэтому в результате выполнения программы элементы массива будут равны: 1, 3, 5, 7, 9, 10, 8, 6, 4, 2, 0. 

0 до 10 и це­ло­чис­лен­ные пе­ре­мен­ные k, i. В при­ве­ден­ном

ниже фраг­мен­те про­грам­мы мас­сив сна­ча­ла за­пол­ня­ет­ся, а потом из­ме­ня­ет­ся:

for i : = 0 to 10 do A[i] : = i;
for i : = 0 to 4 do begin
k : = A[i];
A[i] : = A[10-i];
A[10-i] : = k;
end;

Решение

a[0]=a[10]=10,
i=1: a[1]=a[9] = 9,
...
i=4: a[4]=a[6] = 6,
причём a[10]=a[0]=0,
a[9]=a[1]=1,

...
a[6]=a[4]=4.

Решение:

Пер­вый цикл, за­пол­ня­ем мас­сив:
i=0: a[0]=0,
i=1: a[1]=1,
i=2: a[2]=2,
...
i=10: a[10]=10.

По­это­му в ре­зуль­та­те вы­пол­не­ния про­грам­мы эле­мен­ты мас­си­ва будут равны: 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

сле­ду­ю­ще­го фраг­мен­та про­грам­мы: 

for n:=1 to 100 do
A[n] := n -

10;
for n:=1 to 100 do
B[n] := A[n]*n;
 
Сколь­ко эле­мен­тов мас­си­ва B будут иметь по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния?

Решение:

имеют такой же знак, как и со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты мас­си­ва A,

по­сколь­ку n при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния и B[n]=A[n]*n.
В мас­си­ве A 100 – 10 = 90 по­ло­жи­тель­ных зна­че­ний, сле­до­ва­тель­но и в B их тоже 90.
 
Пра­виль­ный ответ: 90

0 до 10. Ниже пред­став­лен фраг­мент этой про­грам­мы, в ко­то­ром

зна­че­ния эле­мен­тов мас­си­ва сна­ча­ла за­да­ют­ся, а затем ме­ня­ют­ся. 

for i:=0 to 10 do
A[i]:=2+i;
for i:=0 to 4 do begin
A[i]:=A[10-i]-1;
A[10-i]:=A[i]+3;
end;
 
Чему будут равны эле­мен­ты этого мас­си­ва?

Пример 4.

Решение:

7, 8, 9, 10, 11, 12.
Ме­ня­ем мас­сив, идя от краев

в центр, левый ме­ня­ем на пра­вый с вы­че­том 1, а потом пра­вый на из­ме­нен­ный левый плюс 3:
 
A[i]:= A[10-i] - 1: 12 - 1, 11 - 1, 10 - 1, 9 - 1, 8 - 1 = 11, 10, 9, 8, 7 - пер­вые пять ячеек.

A[10 - i]:= A[i] + 3 = A[10-i] - 1 + 3 = A[10-i] + 2: 12 + 2, 11 + 2, 10 + 2, 9 + 2, 8 + 2 = 14, 13, 12, 11, 10 - вто­рые пять ячеек в об­рат­ном по­ряд­ке (с но­ме­ра 10 до но­ме­ра 6).
 
Эле­мент A[5] остал­ся не­из­мен­ным: A[5] = 7.
 
В итоге: 11 10 9 8 7 7 10 11 12 13 14.

пред­став­лен­ном фраг­мен­те про­грам­мы: 
for n:=1 to 5 do
for k:=1 to 5

do
B[n,k] := n + k;
 
Чему будет равно зна­че­ние B[2,4]?

Пример 5.

Решение:
Оче­вид­но, что зна­че­ние эле­мен­та B[2,4] = 2 + 4 = 6.

Ответ: 6

сле­ду­ю­щий фраг­мент про­грам­мы:
for i:=1 to 4 do
for j:=1 to 5

do begin
A[i,j]:=A[i,j]+4;
A[j,i]:=A[j,i]+5;
end;
 
Сколь­ко эле­мен­тов мас­си­ва будут равны 9?

Пример 6.

Решение:

при за­дан­ных i и j уве­ли­чи­ва­ет на 4 эле­мен­ты пер­вых

четырёх строк и пер­вых пяти столб­цов.
Опе­ра­ция A[j,i] : = A[j,i]+5 при за­дан­ных i и j уве­ли­чи­ва­ет на 5 эле­мен­ты пер­вых пяти строк и пер­вых четырёх столб­цов.
По­сколь­ку все эле­мен­ты мас­си­ва из­на­чаль­но равны 4, то после пер­во­го опе­ра­то­ра 4 * 5 = 20 эле­мен­тов будут равны 8, а после вто­ро­го – 16 эле­мен­тов будут равны 13, 4 эле­мен­та будут равны 8 и 4 эле­мен­та при­об­ре­тут зна­че­ние 9.
 На­ри­су­ем для на­гляд­но­сти из­ме­ня­ю­щий­ся фраг­мент чис­ло­вой таб­ли­цы:

Ответ: 4

эле­мен­та обо­зна­ча­ет номер стро­ки, а вто­рой – номер столб­ца. Дан

фраг­мент про­грам­мы: 
for i:=0 to n do begin
c:=A[i,n-i];
A[i,n-i]:=A[1,i];
A[1,i]:=c;
end;
 
Что ме­ня­ет этот фраг­мент про­грам­мы?

Решение:

Пример 7

за эле­мен­ты.
При i=0 A[i,n-i] = A[0,n] — эле­мент ну­левй стро­ки и

по­след­не­го столб­ца.
При i=1 A[i,n-i] = A[1,n-1] — эле­мент пер­вой стро­ки и пред­по­след­не­го столб­ца.

Каж­дый сле­ду­ю­щий эле­мент будет сдви­гать­ся на стро­ку вниз и на стол­бец влево, т. е. мы по­лу­чим эле­мен­ты диа­го­на­ли мас­си­ва.
Эле­мент A[1,i] — эле­мент пер­вой стро­ки и столб­ца с но­ме­ром i.
Зна­чит, дан­ный фраг­мент про­грам­мы ме­ня­ет эле­мен­ты диа­го­на­ли и пер­вой стро­ки в таб­ли­це.

Ответ: меняет эле­мен­ты диа­го­на­ли и стро­ки в таб­ли­це

1;
for i:=1 tо 10 do
if A[i] = A[j] then j

:= i;
s := j;
 
Чему будет равно зна­че­ние пе­ре­мен­ной s после вы­пол­ не­ния этого ал­го­рит­ма?

Пример 8

Решение:

если какой-то эле­мент а[i] мас­си­ва А сов­па­да­ет с пер­вым эле­мен­том

этого мас­си­ва, то ин­дек­су j при­сва­и­ва­ет­ся зна­че­ние ин­дек­са i.

Т. к. цикл про­бе­га­ет все зна­че­ния i в по­ряд­ке уве­ли­че­ния, то по­след­ним зна­че­ни­ем j ста­нет наи­боль­шее зна­че­ние ин­дек­са i такое, что a[i]=a[1].

Это зна­че­ние сов­падёт со зна­че­ни­ем пе­ре­мен­ной s после вы­пол­не­ния ал­го­рит­ма.

Ответ: s = ин­дек­су эле­мен­та, рав­но­го пер­во­му, и име­ю­ще­му наи­боль­ший ин­декс

до 12.
Ниже пред­став­лен за­пи­сан­ный на раз­ных язы­ках про­грам­ми­ро­ва­ния фраг­мент

одной и той же про­грам­мы, об­ра­ба­ты­ва­ю­щей дан­ный мас­сив:

Пример 9

В на­ча­ле вы­пол­не­ния этого фраг­мен­та в мас­си­ве на­хо­ди­лись числа 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, т. е. A[0] = 0, A[1] = 10 и т. д.
Чему будет равно зна­че­ние пе­ре­мен­ной s после вы­пол­не­ния дан­ной про­грам­мы?

= A[i]».

Дан­ное усло­вие вы­пол­не­но толь­ко для i = 4,

в этом слу­чае

A[8] − A[4] = 80 − 40 = 40 = A[4].

Пе­ре­мен­ная s при­мет зна­че­ние s = 0 + 2 · 40 = 80.

Решение:

Ответ: s = 80