7 способов решения тригонометрического уравнения

Авторы проекта:
Шишкина Диана
Диденко Инна
10 класс

sin x – cos x=1

красоте математики.

7

формул,
решении задач различными способами,
изяществе математических доказательств,
порядке,
богатстве приложений универсальных математических методов.
Проблема

красоты привлекала и привлекает величайшие умы человечества.

выразительности математических объектов, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями. Ее привлекательность

будет усиливаться за счет эмоционально-экпрессивной составляющей -

оригинальности,
неожиданности,
изящества.

Математики живут ради тех славных моментов,
когда проблема оказывается решенной,
ради моментов

озарения, восторга

о богатстве приложений универсальных математических методов. При решении уравнений одним

из них является метод разложения на множители.
Можно ли применить его к решению уравнения
Sin x –cos x = 1?
На первый взгляд,кажется что нет…

А если использовать специфические тригонометрические преобразования

1 + cos x …
Как вы думаете зачем
Рассуждаем
Преобразуем исходное уравнение
Sin

x – cos x = 1
к виду
Sin x – ( 1 + cos x) = 0.

степени
и формулу двойного аргумента

Итак…

множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла,

поэтому









однородное уравнение первой степени.

Получим



Ответ:

по формулам двойного
аргумента, а правую часть заменим
тригонометрической единицей:

2-й способ
И

так далее, как в предыдущем способе …

разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение:





Но увы, в левой

части уравнения, мы видим разноименные функции. Как изменить название функции на «кофункцию» ?
Есть изящный способ!!!



Всего лишь нужно применить формулу приведения!

уравнение в виде:

Применяя формулу

разности двух синусов, получим






Ответ:

3-й способ:

как



Возведем обе части полученного уравнения в квадрат

что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима (обязательна!)

проверка. Выполним ее.
Полученные решения эквивалентны объединению трех решений:

х

у

π/2

π

-π/2

полученными, поэтому не являются посторонними.
Проверим


Левая часть:


Правая часть:1.

Следовательно,

формулам:





С учетом приведенных формул уравнение
sinx-cosx=1
запишем в виде

из рассмотрения выпали значения,

при которых
не имеет смысла, т.е.


Следует проверить, не является ли х=π+2πk решением данного уравнения.
Левая часть:
sin(π+2πk)-cos(π+2πk)=sinπ-cosπ=0-(-1)=1.
Правая часть: 1.
Значит, х=π+2πk, k€Z – решение уравнения.
Ответ:

Наиболее ярким из них является метод введения вспомогательного угла (числа).
Благодаря

этому приёму исходное уравнение легко сводится к простейшему –



Последний метод, предлагаемый нами, связан также с нестандартным преобразованием тригонометрического уравнения – возведением обеих частей в квадрат.
И хотя он является коварным в плане приобретения посторонних корней, но подкупает своим оригинальным способом сведения исходного уравнения к простейшему!

просто и красиво!

за скобку ( корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов

при sinx и cosx). Получим









Ответ:

и четвертое решения – посторонние.

Ответ:

x
0
y
π/2
π
-π/2

оригинальный;
Самый неожиданный;
Самый универсальный …

УДИВИТЕЛЬНОЕ И КРАСИВОЕ ВСЕГДА РЯДОМ!