Алгоритм исследования функции

а н и е ф у н к ц и

и с п о м о щ ь ю п р о и з в о д н о й

графика с осями координат
Найти f ´(x) – производную

функции
Найти критические точки функции
Установить промежутки монотонности и экстремумы
Найти значения функции в критических точках
Полученные сведения о производной функции и о функции поместить в таблицу
Построить график функции

Примеры

1121231234123451234561234567

область определения – это множество значений аргумента “x” функции, при

которых выполняются действия, указанные в формуле
область определения обозначается “D”
при нахождении области определения надо обращать внимание на действия: деление, извлечение квадратного корня;

х

х

х

у

у

у

0

0

0

У = х2 +1

У = - 6 /х

У = √х

надо найти f (-x)
если

f (-x) = f (x), то функция чётная

если f (-x) = - f (x), то функция нечётная

график симметричен относительно оси «у»

график симметричен относительно начала координат

если f (-x) ≠ ± f (x), то функция ни чётная, ни нечётная

график не симметричен относительно оси «у» и начала координат

х

х

х

у

у

у

0

0

0

пересечения с

осью «ох» (нули функции)

точка пересечения с осью «оу»

функцию приравнять к «0» и решить уравнение f (x) = 0

найти f (0) = ….

х

х

у

у

0

0

области

определения, в которых f ´ (x) = 0

точки, в которых производная не существует

найти производную
приравнять производную к «0»
решить уравнение f ´ (x) = 0

0

0

у

у

х

х

монотонности и экстремумы
Промежутки

монотонности и экстремумы

f ´(x) > 0 ⇔ f (x) ↗

f ´(x) < 0 ⇔ f (x) ↘

f (x)

f ´(x)

х1

х6

х5

х4

х3

х2

+

-

+

↗

↗

↘

-

-

+

+

↗

↗

↘

↘

max

max

min

min

перегиб

перегиб

«у»
Точки минимума, максимума, перегиба
На координатной плоскости отметить:
При проведении кривой

через точки учитывать

Область определения функции
Симметричность графика функции
Промежутки возрастания и убывания функции

её график
D = ……………..
f (- x) = 1 + 2

(-x) = 1 – 2x = - (-1 + 2x)…. ± f (x) ⇒ функция ……………… ⇒ график ………………
А) f (x) = 0 ⇒ 1 + 2x = 0 ⇒ 2x = - 1 ⇒ x = -1/2 ⇒ график пересекает ось «х» в точке ….. В) f (0) = 1 + 2 · 0 = 1 ⇒ график пересекает ось «у» в точке …..
f ´(x) = (1 + 2x) ´= 0 + 2 = 2
2 > 0 ⇒ f ´(x) > 0 ⇒ f (x) возрастает на D ⇒ функция не имеет критических точек ⇒ нет “max” и “min”
График имеет вид

х

у

0

1

-0,5

1

построить её график
D = ……………..
f (- x) = 2 -

3(-x) = 2 + 3x = - (-2 - 3x)…. ± f (x) ⇒ функция ……………… ⇒ график ………………
А) f (x) = 0 ⇒ 2 - 3x = 0 ⇒ - 3x = - 2 ⇒ x = 2/3 ⇒ график пересекает ось «х» в точке ….. В) f (0) = 2 - 3 · 0 = 2 ⇒ график пересекает ось «у» в точке …..
f ´(x) = (2 - 3x) ´= 0 - 3 = - 3
- 3 < 0 ⇒ f ´(x) < 0 ⇒ f (x) убывает на D ⇒ функция не имеет критических точек ⇒ нет “max” и “min”
График имеет вид

х

у

0

2

2/3

2

построить её график
D = ……………..
f (- x) = - (-x)

3 = x 3 = - f (x) ⇒ функция ……………… ⇒ график ………………
А) f (x) = 0 ⇒ - x 3 = 0 ⇒ x = 0 ⇒ график пересекает ось «х» в точке ….. В) f (0) = - 0 3 = 0 ⇒ график пересекает ось «у» в точке …..
f ´(x) = ( - x 3) ´= - 3 х 2
- 3 х 2 = 0 ⇒ х 2 = 0 ⇒ х = 0 - критическая точка функции
(- ∞) - 0 - (+ ∞) f ´(-1) = - 3·(- 1)2= - 3
f ´(1) = - 3·( 1)2= - 3

х

у

0

3

7.

8. График

и построить её график
D = ……………..

f (- x) = 3(-x)-

(-x) 3 = - 3x + x 3 = -(3x – x3) = - f (x) ⇒ функция ……………… ⇒ график ………………
А) f (x) = 0 ⇒ 3x - x 3 = 0 ⇒ x(3 – x2) = 0 ⇒
x = 0 или 3 – x2 = 0 x2 = 3 x = ±√3 график пересекает ось «х» в точках: (0;0), (√3;0), (-√3;0) В) f (0) = 3 · 0 - 0 3 = 0 ⇒ график пересекает ось «у» в точке (0;0)

f ´(x) = ( 3х - x 3) ´= 3 - 3 х 2

5. 3 - 3 х 2 = 0 ⇒ 3х 2 = 3 ⇒ х2 = 1 ⇒ х = ± 1 - критические точки функции

х

у

5

- 3(- 2) 2 = 3 - 12 = -

9 < 0
f ´( 0 ) = 3 - 3( 0 ) 2 = 3 > 0 f ´( 2) = 3 - 3( 2) 2 = 3 - 12 = - 9 < 0

f (- 1) = 3(-1)- (-1) 3 = - 3 + 13 = - 2
f ( 1 ) = 3 · 1 - 1 3 = 3 - 1 = 2

8.

- 1

1

-

+

-

функцию и построить её график
D = ……………..

f (- x) =

(-x)4 - 50(-x) 2 = x4 - 50x 2 = f (x) ⇒ функция ……………… ⇒ график ………………
А) f (x) = 0 ⇒ x4 - 50x 2 = 0 ⇒ x 2(x2 – 50) = 0 ⇒
x = 0 или x2 - 50 = 0 x2 = 50 x = ±5√2 (≈ 7,1) график пересекает ось «х» в точках: (0;0), (- 7,1;0), (7,1;0) В) f (0) = 04 – 50 · 0 2 = 0 ⇒ график пересекает ось «у» в точке (0;0)

f ´(x) = (x4 - 50x 2 ) ´= 4 х 3 – 50 · 2х = 4х3 – 100х

4х3 – 100х = 0 | : 4 ⇒ х 3 – 25 х = 0 ⇒ х(х2 – 25) = 0 ⇒ х = 0 или х2 – 25 = 0 ⇒ х2 = 25 ⇒ х = ± 5 х = ± 5 - критические точки функции
х = 0

х

у

6

}

6)3 - 25(- 6) = - 216 + 150

0
f ´(- 1) = (- 1)3 - 25(- 1) = -1 + 25 > 0 f ´( 1) = 13 – 25 · 12 = 1 - 25 < 0
f ´( 6) = 63 – 25 · 6 = 216 - 150 > 0

f (± 5) = (± 5)4 - 50 · (± 5) 2 = 625 - 1250 = - 625
f (0) = 0

8.

- 5

5

-

+

-

0

+

2

функцию и построить её график
D = ……………..

f (- x) =

2(-x)3- (-x) 4 = - 2x3 - x 4 = -(2x3 + x4) ≠ ± f (x) ⇒ функция ……………… ⇒ график ………………
А) f (x) = 0 ⇒ 2x3 - x4 = 0 x 3(2 – x) = 0 ⇒ x = 0 или 2 – x = 0 x = 2 график пересекает ось «х» в точках: (0;0), (2;0) В) f (0) = 3 · 0 - 0 3 = 0 ⇒ график пересекает ось «у» в точке (0;0)

f ´(x) = ( 2х3 - x 4) ´= 2 · 3x2 - 4 х 3 = 6x2 - 4 х 3

6x2 - 4 х 3 = 0|:2 ⇒ 3х 2 – 2x3 = 0 ⇒ х2(3 – 2x) = 0 ⇒ x = 0 или 3 – 2х = 0 ⇒ х = 1,5 х = 0 - критические точки функции
х = 1,5

х

у

7

}

1)2 - 2(- 1)3 = 3 + 2 = 5

> 0 f ´( 1) = 3 · 12 - 2 · 13 = 3 - 2 = 1 > 0
f ´( 2) = 3 · 22 - 2 · 23 = 12 - 16 = – 4 < 0

f (1,5) = 2 · (1,5)3 – (1,5) 4 = 2 · 3,375 – 5,0625 ≈ 1,7
f (0) = 0

8.

1,5

+

-

0

+