ЕГЭ по математике 2011

СПБ АППО

Числа, корни и степени, основы тригонометрии, логарифмы, преобразования выражений
ПРИМЕРНОЕ ВРЕМЯ

РЕШЕНИЯ
БАЗОВЫЙ: -
ПРОФИЛЬНЫЙ : 40 мин

удовлетворяющие
уравнению 2⋅k!=m!−2⋅n! (1!=1; 2!=1⋅2=2; n!=1⋅2⋅...⋅n).
Решение
1. Так как m!=2⋅k! +2⋅n!, то

n2. Пусть k≤n, тогда 4⋅n!≥2⋅k! +2⋅n!=m!≥(n+1)⋅n!, откуда 4≥ n +1 и
k≤n≤ 3.
3. Пусть k>n, тогда 4⋅k!≥2⋅k! +2⋅n!=m!≥(k+1)⋅k!, откуда 4≥ k +1 и
n4. Далее конечным перебором значений 1≤ n ≤3, 1 ≤ k ≤ 3 находим все
решения.
n k m!=2⋅k! +2⋅n! m
3 3 m!=24 4
3 2 m!=20 Нет решений
3 1 m!=18 Нет решений
2 3 m!=20 Нет решений
2 2 m!=8 Нет решений
2 1 m!=6 3
1 3 m!=14 Нет решений
1 2 m!=6 3
1 1 m!=14 Нет решений
Ответ: k=1,n=2,m=3;k=n=3,m=4; k=2,n=1,m=3.

Задача С6

Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4

Ответ правилен, и конечность перебора обоснована. Однако при
переборе допущены арифметические ошибки или пробелы. 3

Ответ правилен и получен конечным перебором. Однако
Конечность перебора не обоснована. 2

Приведен хотя бы один из правильных наборов, и проверено,
что при подстановке в уравнение получается верное числовое
равенство. 1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
выше. 0

чисел
указана и проверка произведена. Дальнейшие «эвристические» соображения просто неверны.

тройки
чисел указаны и проверка произведена. Дальнейшие «эвристические»
соображения верны (т.

е. контрпримера не существует), но не обоснованы.

«далее будет увеличиваться» тут просто констатируется «аналогично», и
при этом неясно

о какой именно аналогии идет речь. Кроме того, регулярное
k ∈∅ («нас так учили?») неприятно раздражает. Но меньше 2 баллов поставить нельзя: все ответы приведены.

Все три ответа верны и найдены разумным конечным перебором.
В рассуждении

про невозможность случая m ≥5 ВСЮДУ, т. е. пять раз подряд,
почему-то пропущены значки факториалов (т. е. формально все эти
рассуждения неверны), а вместо «более, чем в 5 раз» должно стоять «не менее
чем в 5 раз».

квадрат:
По условию ищем точки с целыми координатами, значит достаточно проверить

на принадлежность системе неравенств точки
(12;-7), (12;-8), (12;-9), (12;-10).

Проверка показывает, что условию задачи удовлетворяет единственная точка (12; -8).

Ответ: (12; -8)