Элементы теории вероятностей на ЕГЭ

№3
г. Яранска Кировской области
Макарова Вера Евгеньевна

события, случайные величины, их свойства и операции над ними

относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных

относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх,

тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с

вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных

он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых

применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые

учёные П.Л.Чебышев, А.А.Марков и А.М.Ляпунов. В это время были доказаны

Андрей Николаевич Колмогоров. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический

для этого события исходов к n числу всех равновозможных исходов
Вероятность

50 билетов, в 12 из них встречается вопрос по конденсаторам.

Решение:


m=50-12=38 –билетов без конденсаторов
n=50 –всего билетов

Р(А)= =0,76 Ответ: 0,76

7 из них встречается вопрос по кислотам. Найдите вероятность того,

Ответ: 0,8

из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии

Решение
Всего участвует n = 9+3+8+5=25 спортсменов.
А т.к. финнов m = 5 человек, то вероятность того, что на последнем месте будет спортсмен из Финляндии

P = = 0,2

9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5

m = 4
n = 25

P = = 0,16

приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что

Решение
m = 180-8 = 172 сумки качественные,
n= 180 всего сумок

P = = 0,955...≈ 0,96

8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная

m = 80
n = 80+8=88

P = = 0,91

вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите

Решение Игральные кости - это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть  1, 2, 3, 4, 5 или  6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике. Т.е. n = 6×6 = 36. Варианты (исходы эксперимента) будут такие:
1;1  1;2  1;3  1;4  1;5  1;6
2;1  2;2  2;3  2;4  2;5  2;6 и т.д. ..............................
6;1  6;2  6;3  6;4  6;5  6;6
Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8: 2;6   3;5;  4;4   5;3  6;2     Всего m = 5 вариантов. Найдем вероятность.  

P = = 0,138 ≈ 0,14

что в сумме выпадет 4 очка.
m = 3
это

вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Решение
Всего вариантов n

что орел не выпадет ни разу.
m = 1
это р, р,

в 14 из них встречается вопрос по зоологии. Найдите вероятность

Решение
m = 35-14=21- билет без зоологии
n = 35 – всего билетов
Вероятность равна

P = =0,6

из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что

m = 20 – 13 = 7
n = 20

P = = 0,35

80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между

Решение
1 день – 12 докладов, 2 день – 12 докладов, 3 день – 12 докладов, 4 день – 22 доклада, т.к. (80- 3×12):2=22
5 день – m = 22 доклада. n = 80 – всего выступлений. Вероятность выступления профессора М:

P = = 0,275

– по одному от каждой страны. В первый день 33

1 день – 33 выступления
2, 3 день – по (75-33):2=21 выступление
m = 21 n = 75

P = = 0,28

продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный

Решение
m = 2000-12=1988 - насосов не подтекает
n = 2000 – всего насосов
Вероятность, что случайно выбранный насос не подтекает:

P = =0,994

подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля

m = 1000 – 4 = 996
n = 1000

P = = 0,996

разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего

Решение
Так как Руслан Орлов сам с собой играть не может, то вероятность его игры с каким-нибудь спортсменом из России будет (m = 9, n = 25):

P = = 0,36

игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате

m = 7
n = 35

P = = 0,2

более 12 очков при одновременном бросании двух игральных костей
2. Вероятность

нового?

Статья «Вероятность события» http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/veroyatnost-sobytiya.html 3. Изображение кубиков http://images.yandex.ru/yandsearch?text=%D0%BA%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BA%D0%B8&pos=11&uinfo=sw-1349-sh-605-fw-1124-fh-448-pd-1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fwww.otoys.ru%2FpicturesNew%2Fsafsof%2Fb_FD-01%28C%29.jpg

http://images.yandex.ru/yandsearch?text=%D0%91%D0%BB%D0%B5%D0%B7%20%D0%9F%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%20&pos=14&uinfo=sw-1349-sh-605-fw-1124-fh-448-pd-1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fwww.proyectosalonhogar.com%2Fdiversos_temas%2F04-pascal.gif