Геометрические построения в школьном курсе математики

математике

и их аксиомы;
простейшие задачи на построение;
сущность задачи на построение.
2. Методы

геометрических построений.
3. Цели изучения геометрических построений в школьном курсе геометрии и технологическая схема изучения методов построений.

методы построения геометрических фигур с помощью
тех или иных инструментов.

Виды построений:
1.

Изображения – построения, не требующие большой точности.
2. Строгие построения – построения, требующие большой
точности.

В планиметрии ведущими являются строгие построения.
В стереометрии – не строгие построения.

совокупности фигур и их характеристики.

Требования – искомая фигура (совокупность
фигур)

с указанными свойствами.

Инструменты, с помощью которых можно
выполнить требуемые построения.

Инструменты для
практических построений
штангенциркуль;
масштабная линейка;
рулетка;
астролябия;
экер;
рейсшина;
малка.

построить прямую, проходящую через две заданные (построенные) точки.

Л3: построить луч,

исходящий из данной точки и проходящий через другую данную точку.

равный радиусу.

Ц2: построить любую из двух дополнительных дуг, если даны

центр и концы дуг.

Ц3: отложить отрезок, заданной длины от данной точки по данной прямой (луче в бесконечном направлении).

прямую.

П2: Построить (провести) на плоскости окружность произвольного радиуса.

П3: Построить (найти) точку пересечения

двух данных прямых.

П4: Построить (найти) точку пересечения данных прямой и окружности.

П5: Построить (найти) точку пересечения двух данных окружностей.

П6: Взять на прямой, окружности или вне их произвольную точку.

с помощью данных чертежных инструментов (как правило, линейки и циркуля),

решенных ранее задач на построение или постулатов.

Задача на построение считается решенной, если она сводится к конечному числу этих простейших задач – постулатов.

Каждая задача на построение представляет собой небольшое исследование.

задачи классическими методами восходящего анализа, составление плана (указание способа) построения

искомой фигуры.
Построение – последовательное выполнение с помощью циркуля и линейки и на основе аксиом Л1–Л3 и Ц1–Ц3 простейших построений П1–П6.
Доказательство – обоснование того, что построенная фигура соответствует требованиям.
Исследование – ответ на вопрос: всегда ли задача имеет решение, если да, то, сколько и есть ли частные случаи, требующие особого рассмотрения.

При решении первых задач на построение реализуется сначала только второй

этап. Потом добавляется третий этап. Затем учащимся дается представление об общей схеме, приводится пример решения задачи с выполнением всех этапов.
В дальнейшем, при решении более сложных задач чаще всего опускается четвертый и второй этапы.

в конечном счете отдельных точек, которыми определяется данная фигура.
Например:
прямая

определяется двумя точками;
окружность – центром и радиусом;
треугольник – тремя вершинами и т.п.

метод.

ГМТ – множество точек пространства (фигуры), выделяемых из всех точек

пространства по каким – либо признакам (свойствам).

Например:
прямая;
биссектриса угла;
серединный перпендикуляр.

условиям, и F1 и F2 – множество точек, удовлетворяющих каждому

из условий в отдельности, тогда искомая точка Х – точка пересечения множеств F1 и F2.

Например:
построение серединного перпендикуляра;
биссектрисы угла;
точки, равноудаленной от сторон угла и т.п.

вместо искомой фигуры строится вспомогательная фигура, которую легче построить, заменяя

или отбрасывая при этом одно из условий.

Затем с помощью каких -либо геометрических преобразований вспомогательная фигура или ее часть преобразуются в искомую фигуру.

Например:
построение треугольника по двум углам и биссектрисе третьего угла;
построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и отношению катетов и т.п.

плоскости с помощью чисел (координат) или фигур с помощью их

уравнений.
Например:
- построение треугольника по координатам вершин;
- построение треугольника, вершинами которого являются точки попарного пересечения трех прямых, заданных уравнениями.

более сложных фигур.

Например: построение отрезка, являющегося средними геометрическими двух других

отрезков.

(реальном или мысленном).

Возможности перегибания листа бумаги включают в себя не

только «геометрию линейки», но и «геометрию циркуля», что обеспечивает возможность решения большого числа разнообразных задач как серьезных, так и забавных.

Решение задачи методом оригами бывают часто более наглядными и понятными.

Некоторые задачи, решаемые методом оригами, имеют решение с помощью циркуля и линейки (например, деление угла на три равных части).

инструментов для проведения прямых и плоскостей в пространстве.


Стереометрические
построения


Воображаемые

построения

Построения на проекционном чертеже

– создать наглядное представление о происходящем в пространстве, передать зрительные

ощущения, которые могли бы появиться при непосредственном рассмотрении фигуры.

Термин «построить» заменяется термином «провести».

Чертеж теряет первоначальное значение, на первый план выдвигаются рассуждения о существовании искомой фигуры.

подобную параллельной проекции данной фигуры на некоторую плоскость.
Этот вид построений

выполняется по правилам, основанным на свойствах параллельного проектирования.
Выделяется три свойства параллельного проектирования и восемь правил.

геометрических построений;
применение различных способов построений и изображений геометрических фигур при

решении задач для иллюстрации геометрических свойств и соотношений;
овладение инструментами геометрических построений;
дифференциация и конкретизация познавательного аспекта цели предполагают выделение трех категорий и трех уровней (знание, понимание, учение) .

задач на построение;
правила использования основных инструментов для построений;
основные ГМТ.

Понимание –

ученик правильно воспроизводит:
термины;
формулировки основных задач на построение;
алгоритмы решения основных задач, иллюстрированные рисунками.

Умения и навыки – ученик
использует инструменты и воспроизводит основные геометрические построения, действуя по образцу.

выполнения действий, характерных каждому этапу;
приемы использования основных методов построений для

решения типовых задач.

Понимание – ученик
интерпретирует этапы решение задачи на построение;
выделяет ситуации использования основных построений для решения типовых задач.

Умения и навыки – ученик решает типовые и прикладные задачи в стандартных ситуациях, самостоятельно используя основные инструменты, частные и специальные приемы построений и доказательств.

логическую основу;
связь методов построений со свойствами геометрических фигур;
приемы переноса методов

в нестандартные ситуации.
Понимание – ученик
устанавливает связи между методами построений;
выводит следствия;
выделяет идеи построения, доказательства и исследования в задачах на построение;
переносит идеи в нестандартные ситуации.
Умения и навыки – ученик
решает задачи в нестандартных ситуациях;
самостоятельно использует обобщенные приемы решения задач на построение.

мышления и пространственного воображения;
конструктивных умений;
элементов творческой деятельности.

общения.

с помощью учителя примеров задач, решаемых с помощью данной теории.
Выявление

действий по применению теории и их последовательности.
Обобщение действий в виде приема решения задач на построение данным методом.
Применение приема при решении задач.
Применение различных приемов решения задач на построение и их сравнение с точкой зрения целесообразности использования.
Контроль и коррекция усвоения.