Графический метод решения задач с параметрами

СОШ №9 Никитин Никита, ЧЕРНОБРОВКИН А.
Руководитель:

Газизова Г.Х., учитель математики МБОУ СОШ №9

 

к решению задач с параметрами. Решение таких задач связано с

умением проводить сложные, разветвленные логические построения, выполнять алгебраические преобразования, использовать большое количество формул и методов, объединять в единое целое знания из нескольких разделов математики. Именно поэтому задачи с параметрами имеют высокую диагностическую ценность и постоянно включаются в олимпиадные экзаменационные задачи в ЕГЭ.
Затронутая мною тема является актуальной, потому что задачи с параметрами содержатся в заданиях ЕГЭ по математике. Нередко мы, в том числе и я, учащиеся не можем справиться с простейшими задачами, содержащими параметры, что свидетельствует об отсутствии у нас навыков решения задач с параметрами.

Проблема

Решение задач с параметрами всегда вызывало и вызывает большие трудности еще и потому, что их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, а применяющиеся аналитические методы разнообразны и разбросаны по всему курсу математики. Вместе с тем, наряду с аналитическими, применяются и графические приемы решения такого класса задач, причем эти приемы зачастую проще для понимания учениками, более легкие в применении. Возникла проблема, как ознакомить заинтересованных учеников с этими приемами. Мы решили найти и собрать воедино графические приемы решения задач с параметрами, написать работу по собранному материалу и создать презентацию.

увлеченных математикой, к наглядным и эффективным графическим приемам решения сложных

задач. Написанная работа может быть пособием для учащихся при самостоятельном изучении данной темы.
Заинтересовать проектом учителей математики, предоставив им работу и презентацию как пособие для занятий с учениками при формировании навыков решения задач с параметром, при подготовке к ЕГЭ.
Разместить законченный проект в интернете для свободного доступа всех заинтересовавшихся данной темой.

Цель

Предмет

Задачи с параметрами – алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащие параметры. Методы и приемы решения этих задач.

Графические приемы решения задачи с параметрами. Примеры задач с решениями с использованием рассмотренных графических приемов

вариант презентации. Представить презентацию перед учениками. Представить презентацию перед учителями математики, раздать

им работу и презентацию. Обсудить полученный опыт, исправить выявленные ошибки. Доработать презентацию с учетом выявленных ошибок, пожеланий, уточнений. Распространить итоговый проект среди заинтересованных лиц, опубликовать в интернете.

привлечет их интерес к предлагаемой теме. Возможно, заинтересовавшиеся ученики самостоятельно

или под руководством учителя, изучив предлагаемую работу, разбирая решения примеров задач, освоят предложенные графические методы решения задач с параметрами.

Предполагаемая новизна

Теоретическое изучение физических процессов, экономических задач приводят к решению задач с параметрами, которые требуют исследования характера процесса в зависимости от параметра. Поэтому, каждая задача с параметром – это исследовательская работа.
Есть много способов решения заданий с параметрами, в том числе и графические приемы решения данных задач. В данной работе две задачи рассмотрены методом областей.
Метод областей является обобщением метода интервалов. При решении, например, неравенства f(x)≥0 мы находили нули функции f(x)=0, числовая ось разбивалась на промежутки, в которых сохранялся знак. Затем отбирали те промежутки, в которых f(x)≥0.
При решении неравенства методом областей находим все кривые, в которых f(х,у)=0. Данные кривые разбивают плоскость на подмножества, на которых знак постоянный.
В данной работе, в помощь учителю мы показали решение задач с параметрами методом областей, и подали в форме презентации с использованием наглядной анимации для демонстрации процесса решения задач

к ЕГЭ» и выявили, что большинство затрудняются в решении уравнений

с параметрами.
Изучили теоретический материал по данной теме.
Выделили различные способы решения уравнений с параметрами.
Определили более наглядный метод.
Научились решать уравнения с параметрами.
Создали медиа-ресурс для решения уравнений с параметрами.

задач с решениями. Наглядность демонстрации графических приемов в презентации. Достижимость поставленной цели

и задач.

Способы оценки
Выступления перед учащимися 9-11 классов, представление презентаций на уроке. Последующий опрос учеников об оценке понимания продемонстрированных приемов, о появлении заинтересованности предложенной темой, о желании более углубленного ознакомления с темой (ознакомиться с печатной работой). Защита работы на городской НПК «Открытие», живая реакция на доклад учеников, жюри, а также присутствующих учителей математики, проявивших интерес к проекту и готовность использовать его в процессе обучения школьников, доказывают актуальность и востребованность данного проекта.

множества между собой.
Параметр - независимая переменная, значение которой считается фиксированным или

произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку.
Уравнение с параметром — математическое  уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.
Решить уравнение с параметром означает для каждого значения найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению, а также:
1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать

задачи, то решайте их». Д. Пойя.

единственное решение? 1)a=-(4-x)|6-x|; a=(x-4)|6-x|; 2)Построим два графика в одной координатной плоскости:

(1) f(x)=(x-4)|6-х| 1) (-∞;6] f(x)=(х-4)(6-х); f(x)=-x2+10x-24. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина параболы в точке (5;1). График пересекает ОХ в точках (4;0) и (6;0), ОУ в точке (0;-24). Дополнительные точки: (3;-3), (2;-8), (1;-15). 2) (6;+∞) f(x)=(x-4)(x-6); f(x)=x2-10x+24. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы в точке (5;-1). График пересекает ОХ в точках (4;0) и (6;0), ОУ в точке (0;24). Дополнительные точки: (7;3), (8;8), (9;15), (10;24). (2) g(x)=a а=0, у=0; а=1, у=1.

Графики могут иметь одну, две или три общие точки. Выберем

то значение параметра а при котором графики имеют одну общую точку, а уравнение имеет единственное решение. (-∞;0) – одно решение (0;1) – три решения а=1 – два решения (1;+∞) – одно решение Ответ: (-∞;0);(1;+∞).

x=-a-1
2) Покажем две прямые на параметрической плоскости:
3)

Получили 4 области:
1 2 3 4
x-a+13 + - - +
x+a-1 + + - -

+ x + a + 1
(x+7)² +

(a-6)²=2x+14
x² + 14x +49 -2x -14 + (a-6)² = 0
x² + 12x + 35 + (a-6)²=0
(x+6)² + (a-6)² = 1; окружность с центром (6; -6), R=1
(2) (x+7)² + (a-6)² = -x+a-13+x+a+1
(x+7)² + a² – 12a + 36 – 2a +12 =0
(x+7)² + (a-7)² = 1; окружность с центром (7;-7), R=1
(3) (x+7)² + (a-6)² = -x + a -13 –x –a -1
(x+8)² + (a-6)² = 1; окружность с центром (6;-8), R=1
(4) (x+7)² + (a-6)² = x – a +13 – x – a - 1
(x+7)² + (a-5)² = 1; окружность с центром (5;-7), R=1

а=4, а=8.

ах+

=2а+3 имеет единственное решение. 1) =2а-ах+3. 2) построим два графика в одной координатной плоскости и найдем при каком значении параметра график уравнения ах+ =2а+3 имеет единственное решение: (1) у=2а-ах+3; у=-а(х-2)+3. график этой функции представляет из себя семейство прямых, которые имеют различный коэффициент наклона и общую точку (2;3).

; преобразуем уравнение(выделим полный квадрат): у=

= = = = = Этот график функции представляет из себя полуокружность с центром в точке (-4;0),R=3. 3) Мы видим, что прямые, заключенные между прямыми АВ и СВ имеют с полуокружностью одну общую точку. Прямая АВ имеет одну общую точку, а прямая СВ – две. Прямая ДВ также имеет с полуокружностью одну общую точку.

соответствующие прямоугольные треугольники:
а)∆BHA: k=tgA=
б)∆BHC: k=tgC= =

в)BD||оси OX, => k=0
5) Итак, прямая и полуокружность имеют одну общую точку, если <-a≤1 и а=0. -1≤а<- .


Ответ: [-1;- ); {0}.

H

+ a +2|+|x - a² + 3a - 1|=2a –

3 имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4;19).

1) Приравняем к нулю каждое подмодульное выражение, чтобы раскрыть модуль:
x-a²+a+2=0 x–a²+3a-1=0
x=a²-a–2 x=a²-3a+1
2) Покажем эти две параболы на параметрической области:







3) Получим 4 области, и взяв любую точку области, определим знак модуля:
1 2 3 4
x - a² + a + 2 - + + -
x - a² + 3a – 1 + + - -

(2) x-a²+a+2+x-a²+3a-1=2a-3; x=a²-a-2.
(3) x-a²+a+2-x+a²-3a+1=2a-3; a=1,5.
(4) -x+a²-a-2-x+a²-3a+1=2a-3;

x=a²-3a+1.

5) Найдём точки пересечения функций:
(1) Найдём точку пересечения парабол: a²-a-2=a²-3a+1; a=1,5
(2) Найдём точку пересечения параболы x=a²-a-2 и прямой x=4: a²-a-2=4; a=3
(3) Найдём точку пересечения параболы x= a²-3a+1 и прямой x=19: a²-3a+1=19; a=6
6) Найдём корни уравнения |x - a² + a +2|+ |x - a² + 3a - 1| = 2a – 3 , которые не принадлежат интервалу (4;19).
7) При а < 1,5, данное уравнение не имеет решений.
При 1,5 ≤ a ≤ 3 , уравнение имеет корни.
При 3 При а≥6, уравнение имеет корни.
Ответ: [1,5;3];[6;+∞)

|x|=6 имеет не менее трех решений.
1) Раскроем модули:

x² + 3x + a = 0 x=0
a = -x² - 3x (ось Оа)
2) Построим графики на параметрической плоскости Оха.
3) Получим 4 области, и взяв любую точку области,
определим знак модуля в ней:
1 2 3 4
x² + 3x + a + - - +
X + + - -
4) Раскроем модуль в каждой области:
(1) х² + 3х + а + х – 6 = 0; а = -х² - 4х + 6
(2) -x² - 3x – a + x – 6 = 0; a= -x² - 2x – 6
(3) -x² - 3x – a – x – 6 = 0; a= -x² - 4x – 6
(4) x² + 3x + a – x – 6 = 0; a= -x² - 2x + 6

3-ей областью:
-x²-3x=-x²-4x-6; x=-6, a=-18
Найдём точки пересечения 1-ой параболы с 3-ей

областью:
-x²-3x=-x²-4x+6; x=6, a=-54
Найдём точки пересечения 2-ой параболы с 3-ей областью:
-x²-3x=-x²-2x-6; x=6, a=-54
Найдём точки пересечения 4-ой параболы с 3-ей областью:
-x²-3x=-x²-2x+6; x=-6, a=-18
Вывод: прямые, расположенные выше прямой а=-2 имеют с графиком два общих решения или не имеют решения вообще. А прямые, расположенные ниже прямой а=-18 имеют с графиком только две общие точки или вообще не имеют общих точек. Значит, уравнение |x² +3x +a|+ |x|=6 имеет не менее трех решений при -18 ≤ а ≤ - 2.

Ответ: -18 ≤ а ≤ - 2.

с параметром.
Подготовка к решению задач такого типа состоит в

систематическом и обстоятельном изучении математики как на уроке, так и в процессе самостоятельной работы ученика.
Выпускнику полезно владеть различными методами решения подобных задач – аналитическими и графическими, уметь переводить словесное условие задачи в аналитическую форму – сводить ее к решению уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств.

тестовые задания. 30 вариантов заданий. Под ред. Семенова А.Л., Ященко

И.В., М.: Экзамен, 2014
6. ЕГЭ 2014. Математика. Типовые экзаменационные варианты. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В., М.: Национальное образование, 2014.