Комбинации шара с многогранниками и фигурами вращения

Леонид Альбертович, г.Минск

принадлежат поверхности шара (сфере).

















R
R
R
R
R
R
R
R – радиус шара (сферы), описанных около

Центр этой сферы (шара) – точка пересечения прямой, содержащей высоту

ПРИМЕЧАНИЕ 2. Около любой правильной призмы можно описать сферу (шар). Центр этой сферы (шара) – середина отрезка, соединяющего центры описанных около оснований призмы окружностей.

ПРИМЕЧАНИЕ 3. Если около основания прямой призмы можно описать окружность, то около призмы можно описать сферу (шар). Центром описанной сферы (шара) является середина отрезка, соединяющего центры описанных около основания призмы окружностей.

Напомним, что:
около любого треугольника можно описать окружность;
около четырехугольника можно описать окружность, если суммы его противоположных углов равны 1800 (прямоугольник, квадрат, равнобокая трапеция и т.д.);
около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

правильной четырехугольной призмы.




B
C
D
A
B
C
S
N
A
F
O
F
N
S



B1
C1
M1
A1
O1
B1
C1
A1
O1
D1
Выполните чертежи в тетради! Выведите соотношения между R,

O

F

R

A

A1

C

C1

O

O1

D

B

C

A

S

N

B

C

A

O

M

O

F

O1

C

C1

M

M1

R

rосн.

Rосн.

rосн.

Rосн.

Rосн.

Rосн.

R

N

S

H

H

AA1=H

O

M

правильной треугольной пирамиды.
F
B
C
S
A
D
O


N


C
A
S
A
F
O
M
N
rосн.
Rосн.
R
rосн.
R
R
S
N
F
R
O
Rосн.
Выполните чертежи в тетради! Выведите соотношения между R,

ON=H

B

C

A

F

O

M

S

N

K

K

K

K

касаются поверхности шара (сферы).





Напомним, что касательная плоскость перпендикулярна радиусу шара

основание высоты пирамиды является центром этой окружности, то в пирамиду

ПРИМЕЧАНИЕ 1. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу (шар). Центр этой сферы (шара) – точка пересечения высоты пирамиды и биссектрисы двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.

ПРИМЕЧАНИЕ 3. Если в основание прямой призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности, то в призму можно вписать сферу (шар). Центром вписанной сферы (шара) является середина отрезка, соединяющего центры вписанных в основания призмы окружностей.

Напомним, что:
в любой треугольник можно вписать окружность;
в четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны (квадрат, ромб и т.д.);
в любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

вписанные в правильную четырехугольную пирамиду.
Достаточно рассмотреть сечение NSC:
Достаточно рассмотреть сечение

rосн.

Rосн.

D

rосн.

R

R

R

R

OS=H

Выполните чертежи в тетради! Выведите соотношения между R, Rосн., rосн. и H.

правильную четырехугольную призму (куб).
B1
C1
A1
F
O
O1
O1
K
K
L
Выполните чертежи в тетради!
B
C
A
M
N
O
B
C
A
D
O
M
N
M
N
Очевидно, что R=rосн.
rосн.
Очевидно, что

R

R

R

R

конуса и биссектрисы угла между образующей конуса и плоскостью основания

Шар (сфера), описанные около конуса. Центр – точка пересечения высоты конуса и серединного перпендикуляра к образующей конуса (F).

B

O

A

F

S

Oс

K

H

L

Rк

S

O

A

F

K

Rк

Rш

H

L

Rш

rс

rс

Oс

Rш

Rш

Rк

S

O

A

F

K

Rш

центры оснований цилиндра.
Шар (сфера), описанные около цилиндра. Центр –

F

Rш

F

Rш

O

Rц

O

Rц

H

H

D

C

B

A

Осевое сечение ABCD – квадрат. Цилиндр – равносторонний.