Квадратные уравнения через призму истории

в развитие квадратных уравнений.

его не поймет.

Лейбниц

древние времена. Они излагались в вавилонских рукописях царя Хаммурапи(20в. до

н.э.), в трудах древнегреческого математика Евклида(3в. до н. э.), в древних китайских и японских трактатах. Многие математики древности решали квадратные уравнения геометрическим способом. Например, уравнение могло звучать так: квадрат и несколько его частей равны определенному числу.

О чем свидетельствуют клинописные тексты

Выражения у2 + 10y + 25

и 39+25 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение и уравнение
y2 + 10y-39+25 -25 = 0 – одно и то же уравнение. Получаем: (у + 5)2 =64; у + 5 = 8; у = 3.
Второй корень–отрицательный, но греки отрицательных чисел не знали.

y2 + 10у = 39 или
у2 + 10y + 25 = 39+25

традиционных в греческой математике геометрических проблем и занялся алгеброй. Основное

его произведение „Арифметика". Сохранилось шесть томов из предполагаемых тринадцати; в них содержится 189 уравнений с решениями. Автор интересуется только одним решением: положительным и рациональным. Диофант не применял общих методов решения уравнений: методы у него меняются от одного уравнения к другому. При решении уравнений, чтобы получить желаемое рациональное и положительное число, Диофант применяет много остроумных приемов.

830 года, посвящен в основном решению уравнений первой и второй

степени. Этот математик уравнения решает также геометрически. Рассмотрим, как решал ал – Хорезми тоже уравнение х2 +10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Как решал квадратные уравнения ал-Хорезми?

строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна

2½. Площадь каждого прямоугольника равна 2½∙х.
В углах фигуры строят четыре равных квадрата, сторона каждого из них равна 2½, а площадь 6¼.

Площадь большого квадрата можно представить как сумму площадей: х²+4∙2½+4∙6¼, т.е. S=x²+10x+25.
По условию х²+10х =39, получим S =39 +25=64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ=8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х = 8 - 2,5 - 2,5 = 3.
Ал-Хорезми тоже не признавал отрицательных чисел.

Способы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе

были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI—XVII вв. и частично XVIII.

науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде;

создатель буквенного исчисления.

Француа Виет

к виду
х2 + вх = с,
при всевозможных

комбинациях
знаков коэффициентов b, с
было сформулировано в Европе
лишь в 1544 г.немецким
математиком
Михаэлем Штифелем.

«Новые открытия в алгебре» в 1629 году.
Жерар дал геометрическое объяснение

отрицательным корням уравнения как направленным отрезкам, первым признал нуль корнем уравнения, и, следовательно, числом.

Кто вывел формулу корней квадратного уравнения

общем виде имеется и у Виета, однако Виет признавал только

положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Большой вклад внесли и другие математики.

правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду х2

+ b x = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c.
Франсуа Виет (1540 – 1603, Франция) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа.
Итальянские учёные Тарталья (1500-1557), Кардано (1501-1576), Бомбелли (1526-1572) среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни.
В XVII веке благодаря трудам Жирара (1595-1632, Голландия), Декарта (1596-1650, Франция), Ньютона (1643-1727, Англия) и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Эти ученые внесли достойный вклад в развитие теории решения квадратных уравнений

и тернистый путь. Только после трудов Штифеля,

Виета, Тартальи, Кардано, Бомбелли, Жирара, Декарта, Ньютона наука о решении квадратных уравнений приняла современный вид.