Логарифмы и логарифмическая функция в природе и технике

№6
Гаспарян И.В.

появилось понятие ЛОГАРИФМ
Узнать применение логарифма и функции в жизни

a = loge a, e ≈ 2,718…

существенного упрощения трудоёмких вычислений
При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется

на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель
степени. 

 Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»

(известный ещё Архимеду), что при перемножении степеней их показатели складываются:
Индийский математик

VIII века Вирасена, исследуя степенные зависимости, опубликовал таблицу целочисленных показателей (то есть, фактически, логарифмов) для
оснований 2, 3, 4

Решающий шаг был сделан в средневековой Европе. Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая
будет исходной.

Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, упростятся также возведение в степень и извлечение корня.

на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов»
В

нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов», , изданной посмертно в
1619 году его сыном Робертом.

Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к 1594 году. Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы тригонометрических функций.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом

той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

таблицы Непера содержали неверные цифры после шестого знака. Однако это

не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики. Кеплер в изданный им астрономический справочник 1620 года вставил восторженное посвящение Неперу (не зная, что изобретатель логарифмов уже скончался). В 1624 году Кеплер опубликовал свой собственный вариант логарифмических таблиц . Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлению Рудольфинских таблиц, которые закрепили
успех гелиоцентрической астрономии.

Спустя несколько лет после книги Непера появились логарифмические таблицы, использующие более близкое к современному понимание логарифма. Лондонский профессор Генри Бригс издал 14-значные таблицы десятичных логарифмов (1617), причём не для тригонометрических функций, а для произвольных целых чисел до 1000 (7 лет спустя Бригс увеличил количество чисел до 20000). В 1619 году лондонский учитель математики Джон Спайделл переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов. У Спайделла тоже были и логарифмы самих чисел до 1000 (причём логарифм единицы, как и у Бригса, был равен нулю) — хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил.

удобствами. В 1629 году бельгийский математик Грегуар де Сен-
Венсан показал, что площадь

под гиперболой

меняется по логарифмическому закону. В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман) открыл и опубликовал в своей книге Logarithmotechnia разложение логарифма в бесконечный ряд. По мнению многих историков, появление логарифмов оказало сильное влияние на многие математические концепции, в том числе:

Формирование и признание общего понятия иррациональных и трансцендентных чисел.
Появление показательной функции и общего понятия числовой функции, числа Эйлера, развитие теории разностных уравнений.
Начало работы с бесконечными рядами.
Общие методы решения дифференциальных уравнений различных типов.
Существенное развитие теории численных методов, требуемых для вычисления точных логарифмических таблиц.

то левее и выше символа log, то над ним. В конечном

счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log:

Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма —

для десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса (1685) и Иоганна Бернулли(1694), а окончательно было узаконено Эйлером. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

магнитуды была предложена американским сейсмологом Чарльзом Рихтером в 1935 году, поэтому в обиходе

значение магнитуды называют шкалой Рихтера.

Рихтер предложил для оценки силы землетрясения (в его эпицентре) десятичный логарифм перемещения (в микрометрах) иглы стандартного сейсмографа Вуда-Андерсона

где A — амплитуда колебаний земли (в микрометрах), T — период волны (в секундах), и Q — поправка, зависящая от расстояния до эпицентра D и глубины очага землетрясения h.

фотоплёнка) или отражения света непрозрачными объектами (такими, как фотография, металлы

и т.д.).

Вычисляется как десятичный логарифм отношения потока излучения падающего на объект, к потоку излучения прошедшего через него (отразившегося от него)

К примеру D=4 означает, что свет был ослаблен в 104=10 000 раз, т. е. для человека это полностью чёрный объект, а D=0 означает, что свет прошёл (отразился) полностью.

яркости на видимые абсолютные звездные величины.
Шум и звёзды объединяются здесь

потому, что громкость шума и яркость звёзд оцениваются одинаковым образом:

Звезды первой величины, второй и третьей и т.п. Последовательность видимых звездных величин, которые воспринимались глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону:

Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5 легко понять, что «величина» звезды представляют собой логарифм её физической яркости.
Оценивая яркость звезд, астроном оценивает таблицей логарифмов составленной при основании 2,5.

Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и производстве труда.

величинах
Блеск в астрономии — величина
пропорциональная
логарифму светового потока.
Однако

коэффициент пропорциональности
отрицателен (при основании логарифма больше единицы), поэтому самым ярким объектам на небе соответствует большая отрицательная величина (–26,8 для Солнца), а для самых тусклых положительная (28 для едва различимых в телескоп
звезд)

«децибел». Последовательные степени громкости – 1 бел, 2 бела и

т.д. (практически – 10 децибел, 20 децибел и т.д.) – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию.
Физическая же сила этих шумов (точнее - энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

инструментов или пение артиста, то вряд
ли задумываемся о природе

звука, положенного в основу любого музыкального действия.

Мы слышим звук во время одновременного действия нескольких тонов, частоты которых находятся в простых целочисленных отношениях. Сами звуки различаются по высоте, которая зависит от частоты колебаний струны. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, надо начать с описания уха

1 — наружный слуховой проход; 2 — барабанная перепонка; 3 — полость среднего уха (барабанная полость); 4 — молоточек; 5 — наковальня; 6 — стремечко; 7 — полукружные каналы; 8 — преддверие; 9 — улитка; 10 — овальное окно; 11 — евстахиева труба.

Название вполне оправдано, так как форма этой части действительно напоминает

улитку. Она напоминает спирально закрученную трубку. Контур «улитки» можно соотнести с логарифмической спиралью в математике.

У логарифмической спирали все время выдерживается постоянный угол относительно оси (раковина улитки)

Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был  Рене Декарт (1596—1650)

улитки
Соцветия маргаритки
Соцветие подсолнечника
Сосновая шишка
Паутина паука Эпейра

представляет не меньшую загадку, чем проблема их строения. Галактики состоят

из горячих звезд и скоплений газа, которые в результате вращения галактика распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали. У центра галактики ветви спирали вращаются быстрее, чем на границе, то есть они должны были бы быстро раскручиваться, и даже уничтожиться. Однако галактики, как правило, сохраняют спиральную структуру, что говорит о том, что ветви вовсе не раскручиваются. 

не слишком вытягиваться им приходиться скручиваться, причём каждый следующий виток

подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали, можно сказать что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога таких млекопитающих как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали.

углом. На основании этого ее называют равноугольной.
Это свойство находит

свое применение в технике. Дело в том, что в технике часто применяются вращающиеся ножи. Сила с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.
В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, проводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью.
Нажимая на клавиши современного рояля, мы, можно сказать, играем на логарифмах.

спиралей…)
Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и

художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали.

картина Вермера «Кружевница»

и как они применяются? Думаю, все из нас неоднократно встречались с

пометкой pH на моющих средствах. В химии эту пометку принято называть водородным показателем. 

ЗА ЧТО ЖЕ ОН ОТВЕЧАЕТ? 

язык, можно сказать, что с помощью водородного показателя определяется уровень

кислотности среды.

«шкалу заслуг» в области физики. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали

достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков нашего века класс 0,5 имел только Эйнштейн, к классу 1 относились Бор, Дирак, Гейзенберг и ряд других…»

Остается неясным,
логарифм по какому
основанию — 10 или
2,512… — использовал
Лев Ландау для
определения уровня
гениальности физиков-
теоретиков. Несомненно
лишь одно: для этих
сугубо эмоциональных,
субъективных оценок
он использовал логарифмическую шкалу.

устройство, позволяющее выполнять несколько математических операций, в том числе, умножение

и деление чисел, возведение в степень (чаще всего в квадрат и куб) и вычисление квадратных и кубических корней и операции.

линейки получили
второе рождение в наручных часах. Дело в том,

что следуя моде
производители дорогих и
престижных марок часов перешли
от электронных хронометров с ЖК-
экранами к стрелочным и
соответственно места для
встраиваемого калькулятора
оказалось недостаточно.

Однако
спрос на хронометры со
встроенным вычислительным
устройством среди следящих за
модой людей заставил
производителей часов выпустить
модели с встроенной логарифмической линейкой выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата.