Неравенства с двумя переменными

неравенства с двумя переменными;
познакомиться со способом решения неравенств с

Цель урока:

Определение.

неравенства с двумя переменными.

(-3; -1) при подстановке в неравенство обращает его в истинное.
(-3–(-1))(-3+2·(-1))

Решения неравенств с двумя переменными.

у), которая удовлетворяет этому неравенству, т. е. при подстановке обращает

Определение.

множество решений.
Решить неравенство с двумя переменными, значит найти

уравнения 2х + 3у = 0.
Графиком является прямая, проходящая через

х

у

1

-6

4

Так как неравенство строгое, координаты точек графика не являются его решением, поэтому прямую строим пунктирной линией.

Прямая разбила плоскость на две полуплоскости.

Все решения неравенства геометрически изображены точками одной из полуплоскостей.

Чтобы выбрать нужную полуплоскость, подставим координаты произвольной точки в исходное неравенство.

1

3

Возмем точку (3; 1).

Получаем: 2·3 + 3·1 > 0 – верно, значит все решения исходного неравенства геометрически изображены точками, расположенными в верхней полуплоскости.

.

графика разбивает плоскость на несколько областей, внутри каждой из которых

Алгоритм решения неравенства с двумя переменными.

12 > 0.
Выделим полный квадрат в выражении левой части неравенства:
х²

(х² - 4х + 4)– 4 +( у² + 6у + 9)– 9– 12 =

= (х – 2)² + ( у + 3)² - 25.

Запишем неравенство в виде:

(х – 2)² + ( у + 3)² > 25.

Построим график уравнения (х – 2)² + ( у + 3)² = 25.

х

у

А(2; -3)

.

А(2; -3) – точка внутренней области.

Проверка: (2 – 2)² + (-3 + 3)² >25 – ложно,

значит геометрической моделью решения исходного равенства является внешняя область окружности.

2

-3

уравнения у = х² - 4х + 1 или
у

2

-3

х

у

1

Для проверки рассмотрим точку (2; 0).

0 ≥ 4 – 8 +1,

0 ≥ -3 – верно,

значит геометрической моделью решения исходного неравенства является «внутренняя» область, ограниченная параболой.

.

16) < 0.

Решение.
Рассмотрим уравнение (х² + у² - 4)(х² +

Это уравнение равносильно совокупности уравнений

х² + у² - 4 = 0,

х² + у² - 16 = 0,

откуда

х² + у² = 4,

х² + у² = 16.

Графики уравнений – окружности с центром в начале координат и радиусами 2 и 4 единичных отрезка.

х

у

2

4

0

Так как неравенство строгое, окружности строим пунктирной линией.

Окружности разбили плоскость на три области.

Для проверки возмем точку средней области (3; 0).

(9 + 0 - 4)(9 + 0 – 16) = 5·(-7) < 0 – верно.

Геометрической моделью решений неравенства является средняя область.

≥ 0
(х² + у ² - 1)(х² + у ²

1 > 0;
х² + у² -121 < 0;
2 log5х –

Домашнее задание.