О множествах 9 класс

рыб, домов, квадратов, чисел, точек и т.д.

Этим и объясняется

чрезвычайная широта теории множеств и её приложимость к самым разным областям знаний(математике, механике, физике, биологии, лингвистике м т.д.

Кантор (основатель теории множеств)

Нет строгого определения. Это основное понятие. В

обиходном языке – это «совокупность», «собрание», «коллекция», «класс», «система» и тд.
Это несколько объектов объединённых общим признаком
(множество стульев в комнате, множество атомов на Юпитере, множество картофелин в данном мешке, множество рыб в океане, множество точек на окружности и тд).
Предметы составляющие данное множество – его элементы:
А = {х, у,…,z}, x A.
C –множество дней недели, то С={понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}; январь С, среда  С

несчётные)
Счётное множество – самое маленькое из бесконечных*
Несчётные множества существуют.

Например: множество всех точек на прямой линии. Доказать несчётность нелегко

должно формулироваться тщательно, чтобы избежать неясности и двусмысленности, свойственных обычному

нашему языку)

ж е с т в о. Зачем они нужны?
Множество не

содержащее ни одного элемента называют пустым и обозначают Ø
Например
- Множество лошадей, пасущихся на луне,
- множество десятиногих млекопитающих,
- множество действительных решений
уравнения х2 = - 4
Когда множество задано характеристическим свойством, то не всегда известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством.
Пустое множество единственное: нет двух разных пустых множеств.

n таких, что n > 2, уравнение хn + уn

=zn имеет положительные целочисленные решения.

второго множества является элементом первого множества. Тогда В называют подмножеством

(или частью) множества А. Записывают это так: А  В
(Читают: «множество В содержится в множестве А» или «множество А содержит множество В»).
Считается, что пустое множество Ø является подмножеством любого множества.

В

А

множество натуральных чисел; Q- множество рациональных чисел;
Z- множество

целых чисел; R- множество действительных чисел

Z

N

R

Q

Диаграммы Эйлера. Наглядно указанные зависимости можно изобразить с помощью так называемых кругов Эйлера:

множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств.

закрашенная фигура А  В  - пересечение
___________________________

Пересечение множеств иногда называют их произведением, а операцию пересечения – умножением множеств. Многие свойства пересечения напоминают свойства умножения чисел.

суммой множеств называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы

одному из этих множеств.

____________________________
обозначают А  В или А + В.
На рис. это закрашенная фигура
Если какой-нибудь элемент входит в несколько слагаемых, то в сумме он берётся лишь один раз.

,С,…, причём никакие два из них не имеют общих элементов,

то говорят, что множество Х разбито на (непересекающиеся) подмножества А, В ,С,… .
Примеры
а) Множество натуральных чисел разбивается на подмножества чётных и нечётных чисел.
б) Множество учеников в классе на подмножества учеников, фамилии которых начинаются на одну и ту же букву.

Разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества называют классификацией, а полученные подмножества – классами.

Разбиение множеств.

множество Х = А\ В или (А – В), в

которое входят все элементы из А, не принадлежащие множеству В.
При этом не предполагается, что множество В является частью множества А.
Таким образом при вычитании множества В из А из А удаляют общую часть (пересечение) А и В:
А\ В = А \ А  В.
Например.
А – множество всех учащихся IX класса данной школы, а В – множество всех девочек России,
то Х= А\ В – множество всех мальчиков, обучающихся в IX классе этой школы.

Вычитание множеств

множеств А – В называют дополнением.
Дополнением множества В до

множества А называется множество всех элементов А, не являющихся элементами множества В.
На рисунке это закрашенная фигура

Операции над множествами

Дополнение множеств

содержит столько элементов, сколько и второе?
В каких случаях два

бесконечных множества имеют «поровну» элементов?

целого»

На длинном и коротком отрезках точек поровну
Как сравнивать множества
О
В
С
D
А

же точек, сколько и радиус атомного ядра!
На всей бесконечной прямой

не больше точек, чем на отрезке (т.е. между между точками прямой и отрезка можно установить взаимнооднозначное соответствие)

О

А

В

древних греков к осторожности
(парадокс Зенона о том, что стрела не

может сдвинуться с места, Ахиллес никогда не догонит черепаху)
Например: Евклид, формулировал свою знаменитую теорему о бесконечности простых чисел, выражается так: «Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел», а бесконечно много или нет – об этом Евклид умалчивает.

Кантору (родился в 1845 г в
Петербурге,

умер в 1918 г в Галле).
Исследования бесконечных множеств
потребовало развития математической логики.
Первоначально эта область математики была очень далека
от практических приложений, но впоследствии её принципы составили идейную основу конструирования
электронных вычислительных машин и программирования вычислений на этих машинах.


Большой вклад в теорию множеств сделан трудами советских
математиков Н.Н.Лузина (1883 – 1950), П.С.Новикова, М.Я.
Суслина (1894 – 1919), П.С.Александрова, А.Н. Колмогорова и
др.

Тайны бесконечности (2)

физико-математической литературы: МОСКВА 1996
2. Сост. Никольская И.Л. Факультативный курс по

математике7–9 кл/ М: Просвещение /Блох А.Я. «Числовые множества»
3. Нешков К.И. и др «Множества. Отношения. Числа. Величины.» Пособие для учителей/ М: Просвещение 1978