Объём многогранника

поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

одну сторону от любой плоскости, содержащей его грань. Многогранник называется

невыпуклым, если существует такая грань, что многогранник оказывается по обе стороны от плоскости, содержащей эту грань.

в частности многогранника? Это то, сколько жидкости может быть налито

внутрь этого многогранника. Отрежем вершинки и нальем внутрь каждого многогранника воду. Выпуклый многогранник уже наполнился, а невыпуклый — еще нет. Но возможно вода наливалась с разной скоростью: чтобы правильно сравнить объемы, выльем жидкость из каждого многогранника в одинаковые стаканы. Уровень воды в правом стакане выше, чем в левом, значит объем невыпуклого многогранника действительно больше объема выпуклого.

в решении задач на нахождение кубатур (вычисление объемов) тел связаны

с применением метода исчерпывания, предположенным Евдоксом Книдским (около 408-355 до нашей эры).
Известна формула, которая дает возможность найти объем многогранника, если известны лишь длины его ребер.
Объем произвольного многогранника можно вычислить, зная лишь длины его ребер. Однако многогранник должен быть специального вида.

что обобщённые объёмы многогранников — корни полиномиальных уравнений с коэффициентами,

которые не зависят от расположения вершин многогранника в пространстве, а представляют собой многочлены от квадратов длин его рёбер. Числовые коэффициенты этих многочленов определяются комбинаторным строением многогранника.

основания на высоту.

имеющих своими основаниями грани многогранника, а вершиной – центр сферы.

Так как все пирамиды имеют одну и ту же высоту, равную радиусу R сферы, то объем многогранника:

меньше объема шара с тем же центром и с радиусом

R+ε. Таким образом,

размеров его граней, т.е. при неограниченном уменьшении ε, стремится к

4πR^2 и поэтому эта величина принимается за площадь сферы.