Методы решения тригонометрических уравнений (10 класс)

с применением методов решения тригонометрических уравнений

ответьте, какими методами нужно решать данные тригонометрические уравнения?
а)

sin 2x – cos x = 0
б) 2sin²x - 5sinx = -3
в) cos²x – sin²x = sinx – cosx
г) sin2 x – 3sinx cosx + 2cos²x = 0

3.Решите простейшие тригонометрические уравнения:

cos х = t, sin х = t.
A sin2 x

+ B cosx + C = 0
A cos2 x + В sinx + C = 0
Решаются методом введения новой переменной.

2.Однородные уравнения первой и второй степени.
I степени. A sinx + B cosx = 0 : cosx
A tg x + B = 0
II степени. A sin2 x + B sinx cosx + A cos2 x = 0 : cos2x
A tg2 x + B tgx + C = 0
Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.

3. Уравнение вида:
А sinx + B cosx = C. А, В, С ≠ 0
Применимы все методы.

= C.
A cos2x + B

= C.
Решаются методом разложения на множители.

A sin2x + B = C.
A sin2x + B = C.
Сводятся к однородным уравнениям С = С( ).

подстановка.
х ≠ π + 2πn;

Проверка обязательна!

Понижение степени.
= (1 + cos2x ) : 2
= (1 – cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.

мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:

возводим в

четную степень.
умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Проблемы ,возникающие при решении
тригонометрических уравнений

.
Уравнение

.
Поделив уравнение на , получим , ,

При решении этой задачи обе части уравнения были поделены на .
Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения. Если , то из уравнения следует, что . Однако и
не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны
равенством . Следовательно, при делении
уравнения , где , , на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.

+ sinx cosx = 0

1) Делить на cosx нельзя,

так как в условии не указано , что cosx не равен нулю. Но можно утверждать, что sinx не равен нулю, так как в противном случае cosx равен 0, что невозможно , так как sin²x-cos²x =1. Значит можно разделить на sin²x.

2) Решим уравнение разложением на множители:
cos²x + sinx cosx = 0,
сosx(cosx + sinx ) = 0,
сosx = 0 или cosx + sinx = 0,
tg x=-1,

а sin x + в cos x

= с.
Если а=в=0, а с не равно 0, то уравнение теряет смысл;
Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается в тождество.
Рассмотрим случаи, когда а,в,с не равны 0.
Примеры:



3 sin 5x - 4 cos 5x = 2

2 sin 3x + 5 cos 3x = 8.
Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7. Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tgх ; сведением уравнения к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими.
Решение этих уравнений существует при

, (1)

где , , , которое можно решить другим способом.
Разделим обе части этого уравнения на :

. (2)
Введем вспомогательный аргумент , такой, что

.
Такое число существует, так как

.

Таким образом, уравнение можно записать в виде




.

Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением.

.
Используя формулы

sin x = 2 sin cos , cos x = cos2 - sin2 и

записывая правую часть уравнения в виде ,

получаем

Поделив это уравнение на ,

получим равносильное уравнение

Обозначая , получаем , откуда .

1)

2)


Ответ:

– 1 = 0

( -1)n+1 П/6 +Пn, n Z.

2 сos²x – sin x – 1 = 0
±П/6 +Пn; -П/2+2Пn, n Z.

Поделим обе части уравнения на 5:


Введем вспомогательный аргумент , такой, что , . Исходное уравнение можно записать в виде
,
,

откуда

Ответ: