предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,
когда приращение аргумента , стремиться к нулю.
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Первообразная и интеграл, площадь криволинейной трапеции
Содержание
- 1. Первообразная и интеграл, площадь криволинейной трапеции
- 2. Определение производной функции?Производной функции в
- 3. Устная работа 1 сosх -sinх+12
- 4. Устная работа -cosx
- 5. Используя определение производной функции, решают ряд задач
- 6. Задача: Точка движется прямолинейно
- 7. Что мы сделали
- 8. Задача: По прямой движется материальная точка, скорость
- 9. При решении задачи, мы, зная производную функции,
- 10. y = F(x)
- 11. Операциядифферен-цирования функция y = F(х)
- 12. Доказать, что функция является первообразной для функции Решение:
- 13. Доказать, что функция является первообразной для функции Решение:
- 14. Запомните: Первообразная – это родитель производной:
- 15. Слайд 15
- 16. Три правила
- 17. Задача. Для функции y=f(x) найдите первообразные:
- 18. Самостоятельно Для функции y=f(x) найдите первообразные:
- 19. Основное свойство первообразныхЕсли F(x) – первообразная функции
- 20. Неопределенный интегралСовокупность всех первообразных данной функции f(x)
- 21. Интегрирование прослеживается еще в древнем Египте, примерно
- 22. Первым известным методом для расчета интегралов является
- 23. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом,
- 24. Правила интегрирования
- 25. .
- 26. Определенный интеграл (Формула Ньютона - Лейбница)Для непрерывной функции на отрезке [a;b]где F(x) – первообразная функции f(x).
- 27. Основные свойства определенного интеграла
- 28. Основные свойства определенного интеграла
- 29. Определенный интегралВ декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a, x=b (a
- 30. Примеры
- 31. Определенный интегралВычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок
- 32. Геометрический смысл определенного интегралаПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной
- 33. Геометрический смысл определенного интегралаПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной
- 34. Геометрический смысл определенного интегралаЗамечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , то
- 35. Алгоритм нахождения площади фигурыЗадача: Вычислить площадь фигуры
- 36. Формулы для нахождения площади различных фигур 1. Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох (f(x)
- 37. 1. Найдём пределы интегрирования:2. Данная фигура не
- 38. Физический смысл определенного интегралаПри прямолинейном движении перемещение
- 39. Вычисление площадей и объемовс помощью определенного интеграла
- 40. Площадь фигуры,Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и
- 41. Объем тела,полученного в результате вращения вокруг оси
- 42. Скачать презентанцию
Определение производной функции?Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента , стремиться к нулю.
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Первообразная и интеграл
Преподаватель ГБПОУ СО «Свердловский областной педагогический колледж»
Перминова Е.В.
Слайд 5Используя определение производной функции, решают ряд задач в алгебре, физике,
химии.
Рассмотрим физический смысл производной.
материальная
точка
s(t) закон
движения
Слайд 6Задача: Точка движется прямолинейно по закону
Найдите скорость точки в момент времени t=2с.
Решение:
v(t) =
v(2) =
3t2 + 2
Ответ: 14 м/с.
Слайд 7
Что мы сделали за урок?
Повторили определение
производной функции и формулы дифференцирования.
Решили задачу на применение производной:
зная закон движения, нашли скорость при заданном времени.
В математике часто приходиться решать
обратную задачу:
зная скорость найти закон движения.
Слайд 8Задача:
По прямой движется материальная точка, скорость которой в момент
времени t задается формулой v(t) = 3t2. Найдите закон движения.
Решение:
Пусть s(t) – закон движения
надо найти функцию, производная которой равна 3t2 .
Эта задача решена верно, но не полно.
Эта задача имеет бесконечное множество решений.
3t2
3t2
3t2
3t2
можно сделать вывод, что любая функция вида s(t)=t3+C является решением данной задачи, где C любое число.
Слайд 9При решении задачи, мы, зная производную функции, восстановили ее первичный
образ.
Эта операция восстановления - операция
интегрирования. Востановленная функция – первообразная
( первичный образ функции)
Операция
дифферен-цирования
функция y = F(х) (первообразная)
Операция
интегри-
рования
y = f(х)
производная
Слайд 10
y = F(x) называют первообразной для
y = f(x) на промежутке X, если при x ∈
XF'(x) = f(x)
Определение первообразной
Слайд 11Операция
дифферен-цирования
функция y = F(х) (первообразная)
y = f(х)
производнаяОперация
интегри-
рования
В математике много операций которые
являются обратными
32 = 9
?
?
Сегодня мы познакомились с новой операцией
интегрирование
дифференцирование
?
Слайд 16
Три правила нахождения первообразных
Если функции
у=f(x) и у=g(x) имеют на промежутке
первообразные соответственно у=F(x)
и у=G(x), то
Слайд 19Основное свойство первообразных
Если F(x) – первообразная функции f(x), то и
функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной
функции f(x).Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси y.
Геометрическая интерпретация
Слайд 20Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называется ее неопределенным
интегралом и обозначается
:,
где C – произвольная постоянная.
Слайд 21Интегрирование прослеживается еще в древнем Египте, примерно в 1800 г.
до н.э, Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усеченной
пирамиды.
Слайд 22Первым известным методом для расчета интегралов является метод исчерпывания Евдокса
(примерно 370 до н.э.), который пытался найти площади и объемы,
разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объем уже известны.
Слайд 23Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для
расчета площадей, парабол и приближенного расчета площади круга.
Аналогичные методы были
разработаны не зависимо в Китае в 3-м веке н.э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения круга.
Слайд 26Определенный интеграл
(Формула Ньютона - Лейбница)
Для непрерывной функции на отрезке [a;b]
где
F(x) – первообразная функции f(x).
![Определенный интеграл (Формула Ньютона - Лейбница)Для непрерывной функции на отрезке [a;b]где F(x) – первообразная функции f(x).](/img/thumbs/74732d13c7778ad9dcac8b6d915039ad-800x.jpg "Первообразная и интеграл, площадь криволинейной трапеции Определенный интеграл (Формула Ньютона - Лейбница)Для непрерывной функции на отрезке [a;b]где F(x) – первообразная функции f(x).")
Слайд 29Определенный интеграл
В декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью
OX, прямыми x=a, x=b (a
отрезке [a;b] функции y=f(x), называется криволинейной трапецией
Слайд 31Определенный интеграл
Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n
равных частей. Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY.
Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей. Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей столбиков.по определению , его называют
определенным интегралом от функции
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
![Определенный интегралВычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через полученные точки прямые,](/img/thumbs/8ffe5658cda555cefa95bdd3db26943f-800x.jpg "Первообразная и интеграл, площадь криволинейной трапеции Определенный интегралВычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n равных")
Слайд 32Геометрический смысл
определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на
промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и
x=b:![Геометрический смысл определенного интегралаПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x](/img/thumbs/e7dc0aec61bcadef8babbc5a752eac5c-800x.jpg "Первообразная и интеграл, площадь криволинейной трапеции Геометрический смысл определенного интегралаПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на")
Слайд 33Геометрический смысл
определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на
промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и
x=b:![Геометрический смысл определенного интегралаПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x](/img/thumbs/a5a50f964bcc4273f5b38b9f2894ea2f-800x.jpg "Первообразная и интеграл, площадь криволинейной трапеции Геометрический смысл определенного интегралаПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на")
Слайд 34Геометрический смысл
определенного интеграла
Замечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b]
, то
![Геометрический смысл определенного интегралаЗамечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , то](/img/thumbs/b600aff3f444d5be9d4de09e7142e41f-800x.jpg "Первообразная и интеграл, площадь криволинейной трапеции Геометрический смысл определенного интегралаЗамечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , то")
Слайд 35Алгоритм нахождения площади фигуры
Задача: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=f(x)
и y=g(x).
1. Строим (точно) график данных функций.
2.Найдём абсциссы
точек их пересечения (границы интегрирования) из уравнения: f(x)=g(x). Решаем его, находим x1=a,x2=b.
3.Выделяем свою фигуру. Выясняем, является ли данная фигура криволинейной трапецией.
4.Ищем площадь данной фигуры:
Площадь криволинейной трапеции находим по формуле Ньютона-Лейбница:
где F(x) – первообразная для f(x).
Слайд 36Формулы для нахождения площади различных фигур
1. Если криволинейная трапеция расположена
ниже оси Ох (f(x)
формуле :2. Если фигура ограничена кривыми y=f(x) и y=g(x), прямыми x=a, x=b (при условии ),
то её площадь можно вычислить по формуле:
3.
x
y
a
b
F(x)
x
y
g(x)
f(x)
a
b
0
0
S1
S2
S3
a
b
y
x
Слайд 371. Найдём пределы интегрирования:
2. Данная фигура не является криволинейной трапецией,
следовательно, искомую площадь можно получить как разность площадей прямоугольника АBCO
и криволинейной трапеции АОCBD.
Слайд 38Физический смысл
определенного интеграла
При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади
криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t:
Слайд 40Площадь фигуры,
Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что
для
любого x из [a;b], где a и b – абсциссы
точек пересечения графиков функций:![Площадь фигуры,Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что для любого x из [a;b], где a и](/img/thumbs/7af1da284b1464db531d7dea2080b864-800x.jpg "Первообразная и интеграл, площадь криволинейной трапеции Площадь фигуры,Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что для любого")
Слайд 41Объем тела,
полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b]:
