ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ

«СОШ № 92»

ограниченную осью ОХ, прямыми х = а, х = в

и графиком неотрицательной на отрезке [a;b] функции y = f(x).

Отрезок ab является основанием трапеции.

не лежит на оси ОХ;
она ограничена графиками нескольких функций;
вся фигура

или ее часть располагаются ниже оси ОХ.

Лейбница:

S = F(b) –

F(a)

где F – это первообразная функции, ограничивающей трапецию, a и b – координаты концов отрезка, на котором рассматривается трапеция

как комбинацию криволинейных трапеций и вычислить площадь как сумму или

разность площадей, составляющих ее трапеций.
Если фигура располагается ниже оси ОХ, то, применяя формулу Ньютона – Лейбница, следует поменять местами координаты концов отрезка:

S = F(a) – F(b)

в одной системе координат;
Заштриховать искомую фигуру;
Если получилась криволинейная трапеция, применить

формулу Ньютона-Лейбница
Если фигура не является криволинейной трапецией, найти ее площадь как сумму или разность каких-то криволинейных трапеций, опирающихся на тот же отрезок.

Решение.  Строим графики данных линий. 1) y=4x-x² — парабола (вида y=ax²+bx+c). Запишем данное

уравнение в общем виде:y=-x²+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1<0.
Вершина параболы находится в точке O′(m; n), где О′(2; 4). 

Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения: 4х-х²=0.
Выносим х за скобки, получаем:  х(4-х)=0. Отсюда, х=0 или х=4.  
Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и (4; 0).

параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных

отрезка вправо.
Площадь построенной криволинейной трапеции находим по (ф. Н-Л). У нас f (x)=4x-x²,a=0, b=4.