Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Подобные треугольники 8 класс
Содержание
- 1. Подобные треугольники 8 класс
- 2. ОглавлениеОпределение подобных треугольниковПризнаки подобия треугольниковПрименение подобия к доказательству теорем и задачСоотнашение между сторонами и угламипрямоугольного треугольника
- 3. 1.1. Пропорциональные отрезки.1.2. Определение подобных треугольников1.3. Отношение площадей подобных треугольников.1.4. Свойства подобия.Определение подобных треугольников
- 4. 1.1 Пропорциональные отрезки.Отношением отрезков AB и CD
- 5. 1.2. Определение подобных треугольников. В повседневной жизни встречаются
- 6. 1.2. Определение подобных треугольников.ПОДОБИЕ, геометрическое понятие, характеризующее
- 7. 1.2. Определение подобных треугольников.Задача№1.Пусть у двух треугольников
- 8. 1.2. Определение подобных треугольников.АB C А1B1C1AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1- сходственные стороны
- 9. 1.2. Определение подобных треугольников.Определение. Два треугольника называются
- 10. 1.2. Определение подобных треугольников.Подобие треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так : Нажмите сюда и увидите подобные треугольники
- 11. 1.3. Отношение площадей подобных треугольников.Теорема. Отношение площадей
- 12. 1.3. Отношение площадей подобных треугольников. По формулам имеем: поэтому Теорема доказана.
- 13. Свойства подобия.Задача №2. Докажите, что биссектриса треугольника делит
- 14. Свойства подобия.С другой стороны, эти же треугольники
- 15. Признаки подобия треугольниковПервый признакВторой признакТретий признак
- 16. Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно
- 17. Доказательство:По теореме о сумме углов: С
- 18. Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны
- 19. АВС2
- 20. Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональны
- 21. Доказательство:Рассмотрим АВС2, у которого
- 22. Применение подобия к доказательству теорем и задачСредняя линия треугольникаМедианы в треугольникеВысота в треугольникеСреднее пропорциональноеСледствие 1Следствие 2
- 23. Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий
- 24. Дано: АВСМN – средняя линияДоказать:МN //АС
- 25. Меридианы треугольника пересекаются в одной точке, которая
- 26. Доказательство:А1В1 – средняя линия, и А1В1//АВ, поэтому
- 27. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого
- 28. Доказательство: АВС АСН(по
- 29. Отрезок ХY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками АВ и СД, еслиСреднее пропорциональное
- 30. Дано: АВС – прямоугольныйСН – высотаДоказать:Высота
- 31. Дано: АВС – прямоугольныйСН – высотаДоказать:Катет
- 32. Соотнашение между сторонами и угламипрямоугольного треугольникаСинусКосинусТангенсЗначение синуса,
- 33. СинусСинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. АСВ
- 34. АВСКосинусКосинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- 35. АВСТангенсТангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
- 36. АВСКотангенсТангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.
- 37. АВСОсновные тригонометрические тождества.
- 38. АВСЗначение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов. АВС – прям.Т.к.вса
- 39. АВСЗначение синуса, косинуса и тангенса для углов
- 40. АВСЗначение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов.вса
- 41. АВСЗначение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов.вса
- 42. Конец
- 43. Скачать презентанцию
ОглавлениеОпределение подобных треугольниковПризнаки подобия треугольниковПрименение подобия к доказательству теорем и задачСоотнашение между сторонами и угламипрямоугольного треугольника
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Подобные треугольники
Приготовили ученицы 8 а
Исламова Вероника,
Платова Валерия,
Хамидуллина Алина,
Козлова Екатерина,
Селезнева Елена.
5klass.net
Слайд 2Оглавление
Определение подобных треугольников
Признаки подобия треугольников
Применение подобия к доказательству
теорем и
задач
Слайд 31.1. Пропорциональные отрезки.
1.2. Определение подобных треугольников
1.3. Отношение площадей подобных треугольников.
1.4.
Свойства подобия.
Определение подобных треугольников
Слайд 41.1 Пропорциональные отрезки.
Отношением отрезков AB и CD называется отношение их
длин, т. е.
Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны
отрезкам A1B1 и C1D1, если ПРИМЕР №1.
Отрезки AB и CD, длины которых равны 2 см и 1см, пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1,отрезки которых равны 3см и 1,5см. В самом деле,
Слайд 51.2. Определение подобных треугольников.
В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы,
но разных размеров, например футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка
и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга. Введем понятие подобных треугольников.
Слайд 61.2. Определение подобных треугольников.
ПОДОБИЕ, геометрическое понятие, характеризующее наличие одинаковой формы
у геометрических фигур, независимо от их размеров. Две фигуры F1
и F2 называются подобными, если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек фигур F1 и F2 равно одной и той же постоянной k, называемой коэффициентом подобия. Углы между соответствующими линиями подобных фигур равны.Подобные фигуры F1 и F2.
Слайд 71.2. Определение подобных треугольников.
Задача№1.
Пусть у двух треугольников ABC и A1B1C1
соответственно равны: A= A1,
B= B1, C= C1. В этом случае стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 называются сходными.
Слайд 81.2. Определение подобных треугольников.
А
B
C
А1
B1
C1
AB и A1B1, BC и
B1C1, CA и C1A1- сходственные стороны
Слайд 91.2. Определение подобных треугольников.
Определение. Два треугольника называются подобными, если их
углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам
другого треугольника.Другими словами, два треугольника подобны, если их можно обозначить буквами ABC и A1B1C1 так, что A= A1, B= B1, C= C1,
Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.
Слайд 101.2. Определение подобных треугольников.
Подобие треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так
:
Нажмите сюда и увидите подобные треугольники
Слайд 111.3. Отношение площадей подобных треугольников.
Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников
равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство. Пусть треугольники ABC и A1B1C1 подобны
и коэффициент подобия равен k. Обозначим буквами S и S1 площади этих треугольников. Так как A= A1, то
Слайд 121.3. Отношение площадей подобных треугольников.
По формулам имеем:
поэтому
Теорема доказана.
Слайд 13Свойства подобия.
Задача №2.
Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Решение.
Пусть AD – биссектриса треугольника ABC.
Докажем, что Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту AH, поэтому
1
2
A
H
B
D
C
Слайд 14Свойства подобия.
С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному
углу( A= A1), поэтому
Из двух равенств
для отношений площадей получаем, или
Что и требовалось доказать.
Слайд 16Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам
другого, то такие треугольники подобны.
Первый признак
А=
А1В= В1
АВС А1В1С1
Слайд 17Доказательство:
По теореме о сумме углов: С = 1800 -
А - В, а С1 =
1800 - - А 1- В1 ,значит С= С1.Так как А= А1 и С= С1, то и
От этого следует:
Получается, что сходственные стороны пропорциональны.
Дано: АВС и А1В1С1
А= А1
В= В1
Доказать: АВС А1В1С1
Первый признак
А
С
В
А1
В1
С1
Слайд 18Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие
треугольники подобны.Второй признак
АВС А1В1С1
Слайд 19 АВС2 А1В1С1(по первому
признаку) ,значит
, с другой стороны ,из этих равенств получается АС= =АС2. АВС= АВС2 -по двум сторонам и углу между ними (АВ-общая сторона, АС=АС2 и ,т.к. и).Значит и , то
АВС А1В1С1
Дано: АВС и А1В1С1
Второй признак
Д-ть:
Доказательство:
Рассмотрим АВС2, у которого
и
Слайд 20Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого,
то такие треугольники подобные.
Третий признак
АВС
А1В1С1
Слайд 21Доказательство:
Рассмотрим АВС2, у которого
и
.Третий признак
Дано: АВС и А1В1С1
Д-ть:
АВС А1В1С1
АВС2 А1В1С1(по первому признаку) ,значит
и
АВС= АВС2
значит
, а так как
, то
Значит
АВС А1В1С1
Слайд 22Применение подобия к доказательству
теорем и задач
Средняя линия треугольника
Медианы в
треугольнике
Высота в треугольнике
Среднее пропорциональное
Следствие 1
Следствие 2
Слайд 23Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его
сторон.
Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон
и равна половине этой стороны.Средняя линия треугольника
Слайд 24Дано: АВС
МN – средняя линия
Доказать:
МN //АС и MN=1/2AC
Средняя линия
треугольника
Доказательство:
ВМN и ВАС – подобны, так
какВ – общий
BM:ВА=ВN:BC=1:2
Значит ВMN = BAC и MN/АС = 1/2
То MN//АС и MN = ½
Теорема доказана.
Слайд 25Меридианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую меридиану
в отношении 2:1, считая от вершины.
Медианы в треугольнике
Дано:
АВСт.О – пересечение медиан
ВВ1 и АА1
Доказать:
Слайд 26Доказательство:
А1В1 – средняя линия, и А1В1//АВ, поэтому
и
Значит АОВ А1ОВ1(по двум углам),тоНо АВ=А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=2В1О. Значит точка О- пересечение медиан АА1 и ВВ1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
Аналогично доказывается, что точка О – пересечение медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
Значит точка О – пересечения медиан АА1, ВВ1и СС1 делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
Медианы в треугольнике
Слайд 27Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник
на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному.
Высота в
треугольникеН
В
С
А
Дано: АВС – прямоугольный
СН – высота
Доказать: АВС АСН
АВС СВН
АСН СВН
Слайд 28Доказательство:
АВС АСН(по двум углам: А-
как общий и прямым),
АВС ВСН(по
двум углам: В- общий и прямыми),Рассмотрим АСН и ВСН – прямоугольные
1) угол АНС = углу СНВ – прямые углы
2) угол А = углу ВСН
Значит АСН ВСН.
Высота в треугольнике
Слайд 29Отрезок ХY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками
АВ и СД, если
Среднее пропорциональное
Слайд 30Дано: АВС – прямоугольный
СН – высота
Доказать:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная
из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на
которые делится гипотенуза этой высотой.Следствие 1
С
Н
А
В
Доказательство:
АНС СВН, поэтому
Следовательно СН2=АН*НВ
Значит
Слайд 31Дано: АВС – прямоугольный
СН – высота
Доказать:
Катет прямоугольного треугольника есть
среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом
и высотой, проведенной из вершины прямого угла.Следствие 2
С
В
Н
Доказательство:
АВС АСН(по двум углам), поэтому
Значит
А
Слайд 32Соотнашение между сторонами и углами
прямоугольного треугольника
Синус
Косинус
Тангенс
Значение синуса, косинуса
и тангенса
для углов 30, 45
и 60 градусов.
Котангенс
Основные тригонометрические
тождества.
Слайд 33Синус
Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета
к гипотенузе.
А
С
В
Слайд 34А
В
С
Косинус
Косинус острого угла прямоугольного треугольника –
это отношение прилежащего катета
к гипотенузе.
Слайд 35А
В
С
Тангенс
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета
к прилежащему катету.
Слайд 36А
В
С
Котангенс
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета
к противолежащему катету.
Слайд 39А
В
С
Значение синуса, косинуса
и тангенса для углов 30, 45
и
60 градусов.
АВС – прям.
в
с
а
а=1
с=2
По теореме Пифагора :
