Презентация к практическому занятию "Решение задач по теме Исследование функции с помощью производной

«Сызранский медико-гуманитарныйколледж»
Разработала: преподаватель математики Н.Л. Косырева

Наибольшее и наименьшее
значение функции
2. Точки экстремума и значение

функции в этих точках

4. Построение графика функции

функция в этом интервале монотонно возрастает
Если производная функции y=f(x) отрицательна

на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно убывает.

-1
1 2 3 4 5 6

7 8

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции  положительна.

y = f (x)

y

x

5
4
3
2
1

-1
-2
-3
-4

1. f/(x) > 0, значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика.

2. Найдем все целые точки на этих отрезках.

Ответ: 8

Решение:

-1
1 2 3 4 5 6

7 8

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

y = f (x)

y

x

5
4
3
2
1

-1
-2
-3
-4

1. f/(x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика.

2. Найдем все целые точки на этих отрезках.

Ответ: 5

Решение:

если у этой точки существует окрестность,
для всех точек которой

выполняется неравенство f(x) > f(x0)

Определение 2. Точку х=х0 называют точкой максимума
функции f(х), если у этой точки существует окрестность,
для всех точек которой выполняется неравенство f(x) < f(x0)

Точки максимума и минимума
объединяют общим термином –
точки экстремума

x=x0,
то в этой точке производная функции
или равна нулю,

или не существует

Касательная в
таких точках графика
не существует

Касательная
в таких точках
графика параллельна оси ОХ

рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек графика

этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох.

y = f(x)

 

y

x

Ответ: 5

a

b

точку х0 функции f(x) ее производная меняет знак с «+»

на «-», то х0 – точка максимума функции f(x).

Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная меняет знак с «-» на «+», то х0 – точка минимума функции f(x).

Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная не меняет знака, то в точке х0 экстремума нет.

Максимум: - 3; 6
Минимум; 3

Возрастает: (-9;-3) и (3;6)

Убывает: (-3;3)

на промежутке (- 8; 8).
y = f /(x)
 








1

2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

Найти точки, в которых f /(x)=0 (это нули функции).

+

–

–

+

+

5 6 7
-7 -6 -5 -4 -3 -2

-1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

+

–

–

+

+

Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума.

4 точки экстремума

Ответ:2

-8

8

(x)
на отрезке [– 3; 7]
Ответ: 3

1 2

3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-8

8

(-3;10) . Найдите сумму точек экстремума функции f(x) .
-1
0
1
3
6
7
8
9
-1 +

0 + 1+2 + 3 + 6 + 7+ 8 + 9= 35

Ответ: 35

2

стационарные и критические точки
функции f (х).
Отметить

промежутки знакопостоянства f ´.
и промежутки монотонности функции f (х).

Найти D(f) и исследовать на непрерывность
функцию f (х).

y’=0.
x²-x-6=0
Д=1-4*(-6)*1=1+24=25



Делим область определения на интервалы:

Найти промежутки монотонности функции

y=2x³-3x²-36x+5

-2

3

+

-

+

5.Функция возрастает при xϵ (-∞; -2)υ(3; +∞),
функция убывает при xϵ (-2; 3).

y’=0.
x²-2x= 0
x(x-2)= 0
x1=0 и x2=2
Делим область определения на интервалы:

Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²

0

2

-

+

5. Функция возрастает при xϵ(-∞;0]υ[2;+∞),
функция убывает при xϵ[0;2].

+

D(f) и исследовать на непрерывность функцию f (х).

Найти производную

f ´

Найти стационарные и критические точки функции f(х) и на координатной прямой отметить промежутки знакопостоянства f ´.

Посмотрев на рисунок знаков f ´, определить точки минимума и максимума функции и вычислить значения f(х) в этих точках.

функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x2+2)’=2x.
Приравниваем её к нулю: 2x= 0, откуда

x = 0 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:

0

-

+

х =0 – точка минимума.
Найдём минимум функции ymin=2.

y’=(1/3x3-2x2+3x+1)’=x2-4x+3.
Приравниваем её к нулю: x2-4x+3=0, откуда x1=1, x2=3 – критические

точки.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:

5. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции
ymax=7/3.
x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=1.

1

3

+

+

-

функция особенностями, облегчающими исследование, то есть является ли функция f(х):
а)

четной или нечетной;
б) периодической.
Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.
Найти промежутки знакопостоянства производной функции f(х) .
Выяснить, на каких промежутках функция f (х) возрастает, а на каких убывает.
Найти точки экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f (х) в этих точках.
Исследовать поведение функции f (х) в окрестности характерных точек не входящих в область определения.
Построить график функции.

функции:
f (-x)=x4-2x2-3,
значит f (-x) = f (x)

для любого х, принадлежащего D (f) – функция является чётной.
Координаты точек пересечения графика с осями координат
с ось Оу: f(x)=0: (x2-3)(x2+1)=0; x=± ;
с осью Ох: f(0)=-3
Промежутки знакопостоянства производной f’.
f’(x)=4х3-4x=4х(x-1)(x+1) =0 х = -1; 0; 1.

в этих точках.

Составить таблицу.

[a;b]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения
непрерывной функции f(x) на промежутке

[a;b], нужно
вычислить её значения f(a) и f(b) на концах данного промежутка;
вычислить её значения в критических точках, принадлежащих этому промежутку;
Выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Записывают : max f(x) и min f(x)
[a;b] [a;b]

(1, 5, 7)

№ 228 (1, 3, 5)
№ 227 (2, 6,

8)

№228 (2, 6, 10