Презентация к уроку по алгебре и началам анализа на тему " Комбинаторика: перемещения,перестановки,сочетания"

и научиться применять их при решении задач

и Пьера Ферма по теории азартных игр.
Блез Паскаль

Пьер Ферма

Я. Бернулли и Л. Эйлер.
Г.В. Лейбниц
Я. Бернулли
Л. Эйлер.

B — n элементов. Тогда число всех различных пар (a,b),

где a\in A,b\in B будет равно mn. Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества A мы можем составить n таких различных пар, а всего в множестве A m элементов.

a,b,c. Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два?

ab,ac,bc,ba,ca,cb.

способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся

комбинации называются перестановками, а их число равно Pn=n!=1·2·3·...·(n-1)·n

от 1 до n. По определению, считают, что 0!=1 1!=1 Пример всех

перестановок из n=3 объектов (различных фигур) - на картинке . Согласно формуле, их должно быть ровно P3=3!=1⋅2⋅3=6 , так и получается.

изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10

предметов - уже 3628800 (больше 3 миллионов!).

объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть

меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно Aⁿm=n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по m

элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

объектов всевозможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но

порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m, а их число равно Cmn=n!(n−m)!⋅m!

картинке снизу. Согласно формуле, их должно быть ровно C23=3!(3−2)!⋅2!:3!=3. Ясно,

что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в m! раз, то есть верна формула связи: Amn=Cmn⋅Pm.

из них сыграл только одну партию с каждым из остальных.

Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15,

причем порядок в таких парах не важен. Воспользуемся формулой для нахождения числа сочетаний (выборок, отличающихся только составом) из n различных элементов по m элементов

n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅ n , при n=2, m=13.

=

и так до 15-го), 2- ой игрок сыграл 13 партий

(3-м, 4-м, и т.д. до 15-го, исключаем то, что с первым партия уже была), 3-ий игрок − 12 партий, 4-ый − 11 партий, 5 – 10 партий, 6 – 9 партий, 7 – 8 партий, 8 – 7 партий,
9 – 6
10 – 5
11 – 4
12 – 3
13 – 2
14 – 1,
а 15-ый уже играл со всеми.
Итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий
ОТВЕТ. 105 партий.