Презентация урока "Комбинаторные задачи по геометрии"

заметно возрос. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей включены в

новые стандарты по математике для основной и профильной школ. Формирование комбинаторных представлений и развитие комбинаторного мышления школьников входит в число основных целей обучения математике.
Обычно, когда говорят об элементах комбинаторики, имеют в виду задачи алгебраического содержания. Однако и комбинаторными задачами можно заниматься и на уроках геометрии, начиная с 7 по 11 класс.

к взаимному расположению точек и прямых на плоскости, является аксиома

о том, что через любые две точки плоскости проходит единственная прямая. Учащимся можно предложить следующие задачи, идущие с нарастанием сложности.

из трех точек, не лежащих на одной прямой?
Ответ:

3.

Сколько прямых проходит через различные пары из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?
Ответ: 6.

Сколько прямых проходит через различные пары из пяти точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?
Ответ: 10.

из n точек, никакие три из которых не лежат на

одной прямой? Укажите способ построения таких точек.

Решение. Пусть А1 …, Аn — n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Для построения таких точек достаточно отметить их на окружности.
Выясним, сколько прямых проходит через точку А1 и оставшиеся точки. Так как число оставшихся точек равно n – 1 и через каждую из них и точку А1 проходит одна прямая, то искомое число прямых будет равно n - 1. Заметим, что рассуждения, проведенные для точки А1, справедливы для любой точки. Поскольку всего точек n и через каждую из них проходит n - 1 прямая, то число посчитанных прямых будет равно n (n -1).
При указанном подсчете мы каждую прямую посчитали дважды и поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, равно n (n -1).
2

могут иметь три прямые?
Ответ: 3.

Какое

наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые?
Ответ: 6.

Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь пять прямых?
Ответ: 10.

их точек пересечения.

Какое наибольшее число точек пересечения могут иметь две

окружности?
Учащиеся изображают в тетради две окружности и выясняют, что наибольшее число точек пересечения
равно 2.

Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь три окружности?
Ответ: 6.

число диагоналей равно 2.

Сколько диагоналей имеет пятиугольник? Ответ: число диагоналей равно

5.

Сколько диагоналей имеет шестиугольник? Ответ: число диагоналей равно 9.

n-угольника. Учитывая, что диагональю является отрезок, соединяющий несоседние вершины многоугольника,

получаем, что через данную вершину проходит n - 3 диагонали. Поскольку общее число вершин равно n, через каждую из них проходит n - 3 диагонали, и при таком подсчете каждая диагональ считается дважды, получаем, что общее число диагоналей равно n(n-3)
2 .
Может ли многоугольник иметь:
а) 10 диагоналей;
б) 20 диагоналей;
в) 30 диагоналей.
Решение. По результатам предыдущей задачи шестиугольник имеет 9 диагоналей, семиугольник — 14, восьмиугольник — 20, девятиугольник — 27, десятиугольник — 35. Ясно, что многоугольники с большим числом сторон имеют большее число диагоналей. Поэтому многоугольник может иметь 20 диагоналей и не может иметь 40 или 30 диагоналей.

Решение. Пример
приведен на рисунке. Ответ: да.

ломаная с пятью сторонами?
Решение. Каждая сторона ломаной может

пересекаться только с несоседними сторонами. Таких сторон у пятисторонней ломаной две. Значит, число точек самопересечения не превосходит 5x2 = 5.
2
Пример замкнутой пятисторонней
ломаной с пятью точками
самопересечения дает пентаграмма.

(2n + 1)-й стороной? Приведите примеры для n = 3,

n = 4.
Решение аналогично решению предыдущей задачи; примеры ломаных приведены на рисунке.
Ответ: (2n + 1)(n - 1).

и составьте из них квадрат.

Решение. Заметим, что

если стороны квадратов, из которых составлен греческий крест, равны 1, то сторона искомого квадрата равна 5 . Требуемое разрезание показано на рисунке 2.

Рис. 1

Рис. 2

полученных частей квадрат.
Решение показано
на рисунке.

приведен на рисунке, так, чтобы они побывали в каждом зале

только один раз?

Вершины графа — это вход, выход, двери, соединяющие залы, перекрестки, а ребра — залы и коридоры. Где на выставке следовало бы сделать вход и выход, чтобы можно было провести, экскурсию по всем залам, побывав в каждом из них в точности один раз?

б) четыре общих колодца.
Можно ли провести непересекающиеся
дорожки от каждого дома

к каждому
колодцу?

четыре из которых не лежат в одной плоскости. Сколько плоскостей

проходит через различные тройки из этих точек?

Решение. Поскольку плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой, то число плоскостей равно числу сочетаний из n по три, то есть равно
n(n - 1)(n – 2)
6 .

нет, в пирамиде число ребер четно.

Может ли в призме быть

16 ребер?
Ответ: нет, в призме число ребер делится на три.

Чему равна число диагоналей в n-угольной призме?
Ответ: n (n - 3).

Сколько осей симметрии имеет куб?

тетраэдр; б) куб;
в) октаэдр;

г) икосаэдр;
д) додекаэдр?
Ответ: а) 24; б) 48; в) 48; г) 120; д) 120.

Может ли у многогранника быть семь ребер?
Решение. В вершинах такого многогранника не может сходиться четыре ребра, так как в этом случае число ребер многогранника было бы больше семи. Если же в каждой вершине многогранника сходится по три ребра, то число ребер многогранника должно делиться на три.
Ответ: нет.

основывается на теореме Эйлера о числе вершин, ребер и граней

выпуклого многогранника.

Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет:
а) 12 ребер; б) 15 ребер?
Ответ: а) В = 6, Г = 8; б) В = 7, Г = 10.

Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно:
а) 12; б) 15?
Ответ: а) В = 8, Г = 6; б) В - 10, Г = 7.