Презентация уроков по теме:"Делимость чисел"

ступеней №120
Кориненко Елена Викторовна
Делимость чисел
В математике есть своя красота, как в

живописи и поэзии». Н. Е. Жуковский.

Донецк, 2016

5 и на 2.
Признаки делимости на 9 и на 3.
Простые

и составные числа. Разложение чисел на простые множители.
Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа.
Наменьшее общее кратное (НОК).
Контрольная работа.

«делитель», «кратное»;
учить делать выводы и сравнения;
приучать к аккуратным записям

в тетрадях и правильной самооценке.

Делители и кратные натурального числа

яблок получит каждый мальчик?
20:4 = 5 (яблок) -

получит каждый .

Задача 2.
Разделите поровну 20 конфет между 5 девочками. Сколько конфет получит каждая девочка?
20:5 = 4 (конфет) - получит каждая девочка.

Задача 3.
Разделите поровну 40 конфет на 6 детей. Сколько конфет получит каждый ребенок?
40:6 = 6 и 4 в остатке. - по 6 конфет получит каждый ребенок.

делят натуральное число 36.
В задачах 1 и 2 числа

4 и 5 без остатка делят натуральное число 20.

На сколько равных кучек можно разложить 36 орехов, так чтобы не осталось лишнего?
на 2, на 3, на 4, на 6, на 9, на 18, на 36.

Подумайте, как одним словом назвать все натуральные числа, которые делят без остатка другое натуральное число.

Делители

а делится без остатка.

Определение
Число 6 для числа 40 не является

делителем, так как 40 на 6 без остатка не делится.

без остатка на а.

Определение
Если a, b и c – натуральные

числа и a = b * c, то
a делится на b,
a кратно b
b – делитель а

24, 36, 48, ....
Задание. Найти все делители и кратные

числа 12.

Сравним.
Сколько может быть делителей? Сколько кратных?
Какой наименьший делитель? Наименьшее кратное?

14, 16 те, которые являются:
а) делителями 20;
б) кратными 4;
в)

делителями 16 и кратными 4;
г) кратными 3 и делителями 16.

Самостоятельная работа с последующей проверкой

1. В каждой коробке лежат 6 чайних ложек. Можно ли не разкрывая коробки, взять: а) 42 ложки; б) 49 ложек.

2. Верно ли, что
5 - делитель 45;
16 - делитель 8;
17- делитель 152;
27 - кратно 3;
6 - кратно 12;
156 - кратно 13.

и на 2;
учить обобщать и делать выводы;
воспитывать ответственность за

выполнение работы.

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2.

10; 30:10;
234 : 10; 2345 : 10; 350: 10.
Вывод.
Если

запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.

2. Найдите частное:
873 : 5; 4675 : 5; 4570 : 5; 987 : 5;
350: 5; 24600:5; 234 : 5; 280 : 5.

Вывод.
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.

Признаки делимости на 10, на 5 .

10 и на 5.
Признаки делимости на 10, на 5 .

6790, 6780, 245, 8905, 7830, 7695, 89705, 34580.
Эти числа делятся на 5, но не все из них делятся на 10.

784, 6943, 7896, 4109, 78054, 97856744, 24109.
Эти числа не делятся на 5 и не делятся на 10.

оканчивается четной цифрой (0, 2, 4, 6, 8), то это

число делится нацело на 2.

Признаки делимости на 2.

Признаки делимости на 2.
6571, 7843, 67895, 904557,9876589.
Эти числа

не делятся на 2.

0,2,4,6,8 – чётные цифры.
1,3,5,7,9 – нечётные цифры.

остатка на 10, на 5, на 2.
2. Придумайте три

числа, которые:
а) делятся на 2;
б) делятся на 5;
в) делятся и на 2 и на 5.
3. Назовите:
два четных числа, кратных 5.
два нечетных числа, кратных 5.
два четных числа, которые делятся на 5.
два нечетных числа, которые не делятся на 5.

895608,
9805, 9) 678471,
12766, 10) 8733.
Какие из

данных чисел делятся на 2?

Ответ: 2),3),5),6),7),8).

делимости на 9 и на 3;
учить обобщать и делать выводы;

воспитывать умение работать в группах.

сумма их цифр (6+4+5+7+5=27) делится на 9(на 3).
Признаки делимости на

9 и на 3.

Числа: 57083, 30875, 80537 не делятся на 9(на 3), так как сумма их цифр (5+7+0+8+3=23) не делится на 9(на 3).

делится на 9;
Если сумма цифр числа не делится на 9,

то и число не делится на 9.

Определение

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3;
Если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

на 9.
1)2*5, 2)46*,

3)*14.

Признаки делимости на 9 и на 3.

ОТВЕТЫ:
а) 1) 2;5;8, 2) 2;5;8, 3) 1;4;7;
б) 1) 2; 2) 8; 3) 4.

те, которые делятся на
а) 2, б) 5, в) 10, г) 3, д) 9.

ОБОБЩАЮЩЕЕ ЗАДАНИЕ.

ответ:
а) 70;42;180;404;

б) 70;180;75;

в) 70;180;

г) 42;180;729;561;75;297

д) 180;729;297.

две его последние цифры - нули или образуют число, которое

делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

его последние цифры - нули или образуют число, которое делится

на 25.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11.  На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Для любознательных

на 3, так как сумма его цифр равна:  3 +

7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3.

Данное число делится на 5, так как его последняя цифра 5.

Наконец, это число делится на 11, так как суммы его цифр, стоящих на чётных местах (3 + 8 + 1 = 12)  и суммы цифр, стоящих на нечётных местах (7 + 0 + 5 = 12)  равны.

Но это число не делится на  2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 и 1000, так как …
                     
А вот эти случаи вы проверите самостоятельно!

Для любознательных

14
630 : 21
2316 : 12
5310 : 20

“простое число”, “составное число”, ознакомление с разложением числа на протые

множители;
развитие умений учащихся классифицировать натуральные числа в зависимости от количества делителей;
воспитывать ответственность за выполнение работы.

2, 5, 7, 11, 13;
б) 6, 15, 49, 1000
Ответ:

Делители числа 2: 1 и 2. Делители числа 5: 1 и 5. Делители числа 7: 1 и 7. Делители числа 11: 1 и 11. Делители числа 13: 1 и 13.

в) число 1.

Ответ: Делители числа 6: 1, 2, 3, 6 Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. Делители числа 49: 1, 7, 49. Делители числа 1000: 1, 10, 100, 1000.

Ответ: Делители числа 1: 1.

натуральных делителя: единицу и само это число.
Простые и составные

числа.

Натуральное число, имеющее более двух натуральных делителей, называют составным.

Число 1 не считают ни простым, ни составным числом, так как оно имеет только один делить.

превосходящие 200:
 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

23, 29, 31, 37, 41, 43,
  47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
  103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
  157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Простые и составные числа.

Назовите наименьшее простое число.
Наибольшее простое число.

образом представлено в виде произведения простых множителей.
Например, 
48 =

2 · 2 · 2 · 2 · 3,   
225 = 3 · 3 · 5 · 5,  
1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .

Для небольших чисел это разложение легко делается на основе таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере.

на простые множители заменяют степенью.
Например:
18 = 2 ∙ 3

∙ 3 = 2 ∙ 32
80 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 24 ∙ 5
81 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 34
200 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 = 23 ∙ 52

Разложить на простые множители число 2940.
2940 кратно 2, 2940 : 2 = 1470;
1470 кратно 2, 1470 : 2 = 7354
735 не кратно 2, но кратно 3, 735 : 3 = 245;
245 не кратно 3, но кратно 5, 245 : 5 = 49;
49 не кратно 5, но кратно 7, 49 : 7 = 7;
7 кратно 7, 7 : 7 = 1.

2940 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 7 = 22 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 72

2940 │ 2  1470 │ 2    735 │ 3
   245 │ 5
49 │ 7
7 │ 7
1 │

23

61; 72; 103.
Разложить числа на простые множители:
а) 14; 765 б) 15; 324
Разложением какого числа на простые множители является произведение:
а) 2 ∙ 32; б) 23 ∙ 5?
Чему равно частное от деления:
а) числа 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 19 на число 3 ∙ 13 ∙ 19;
б) числа 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 23 ∙ 37 на число 2 ∙ 3 ∙ 37

“взаимно простые числа”, ознакомление с алгоритмом поиска НОД;
развитие памяти, внимания,

умения самостоятельно решать задания ;
Прививать познавательный интерес к математике.

42.
Делители числа 36: 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,

36. Делители числа 60: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Делители числа 42: 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

Какие делители являются общими?
Назовите наибольший делитель.

Ответ: 2, 3, 6

Ответ: 6

из них.

Например, числа  36,  60,  42 имеют общие делители

2, 3 и 6.

Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6.

Это и есть наибольший общий делитель (НОД).

каждое число как произведение его простых множителей, например:
360 =

2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,

2)  записать степени всех простых множителей:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 51,

3)  выписать все общие делители (множители) этих чисел;

4)  выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;

5)  перемножить эти степени. 

168, 180 и 3024.
Р е ш е н и е

.   НОД (168; 180; 3024)
Разложим каждое число на простые множители:
168 | 2 180 | 2 3024 | 2
84 | 2 90 | 2 1512 | 2
42 | 2 45 | 3 756 | 2
21 | 3 15 | 3 378 | 2
7 | 7 5 | 5 189 | 3
1 | 1 | 63 | 3
21 | 3
7 | 7
1|
168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23  · 3  · 7 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22  · 32  · 5 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24  · 33  · 7 .
Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3 и перемножим их:
НОД = 22  · 3  = 12 . 

585 | 5 616 | 2 117 | 3 308 | 2 39

| 3 154 | 2 13 |13 77 | 7 1 | 11 |11 1 | 585 = 5 ∙ 32 ∙ 13 616 = 23 ∙ 7 ∙ 11
Числа 585 и 616 не имеют общих делителей. Их наибольший общий делитель равен 1.
НОД (585; 616) = 1.

их называют взаимно простыми.
Любые два (три, …) простых числа являются

взаимно простыми.
НОД (17; 43) = 1,
НОД (101; 919) = 1.

делитель этих чисел (устно).
1) a=2·3·5·7и b=3·5·7·11
2) a=2·3·11и b=2·2·3·5
3) a=3·5·7·19и b=5·7·3·3·19

подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят

присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?

2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 19 и

2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 13;
б) 23 ∙ 3 ∙ 73 ∙ 112 ∙ 19 и 22 ∙ 35 ∙ 112 ∙ 193.
Найдите НОД данных чисел, разложив их на предварительно на простые множители:
а) 72 и 120; 792 и 1188; б) 42 и 105; 588 и 252.
Среди приведенных пар чисел выберите пары взаимно простых чисел:
а) 14 и 21; б) 54 и 65; в) 42 и 55;
г) 14 и 70; д) 28 и 39; е) 63 и 42.
а) Для учащихся первого класса приготовили одинаковые подарки. Во всех подарках вместе 320 орехов, 120 шоколадок и 280 конфет. Сколько учеников в классе, если их больше 30?
б) Из 156 чайных, 390 красных и 234 белых роз составили букеты, причем в каждом из них роз одного цвета поровну. Сколько составили букетов, если их больше 50?

внимания, умения самостоятельно решать задания ;
прививать позновательный интерес к

математике.

Наименьшее общее кратное.

9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 91,

90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189… Кратные числа 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198… Кратные числа 45: 45, 90, 135, 180, 225...

Какие кратные являются общими?
Назовите наименьшее кратное.

Ответ: 90, 180

Наименьшее общее кратное.

Ответ: 90

на каждое из этих чисел.

Например, числа 9, 18 и

45 имеют общие кратные 90, 180, 360 и т.д.

Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90.
Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

каждое число как произведение его простых множителей, например: 504 =

2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,
2)  записать степени всех простых множителей:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 23 · 32 · 71,
3)  выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;       
4)  выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;
5)  перемножить эти степени. 

168, 180 и 3024.
Р е ш е н и е

. НОД (168; 180; 3024)
Разложим каждое число на простые множители:
168 | 2 180 | 2 3024 | 2
84 | 2 90 | 2 1512 | 2
42 | 2 45 | 3 756 | 2
21 | 3 15 | 3 378 | 2
7 | 7 5 | 5 189 | 3
1 | 1 | 63 | 3
21 | 3
7 | 7
1|
168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 3 · 7 ,                       
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 5 ,                      
  3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24  · 33  · 7 .  
                  
     Выписываем наибольшие степени всех простых делителей  и перемножаем их:
НОК = 24 · 33 · 5 · 7 = 15120 .

16; б) 6 и 12; 10 и 21.
Найдите наибольший общий делитель и

наименьшее общее кратное:
а) 23 ∙ 3 ∙ 5 и 2 ∙ 32 ∙ 5; 24 ∙ 3 ∙ 11 и 22 ∙ 33 ∙ 13; б) 3 ∙ 52 и 3 ∙ 5 ∙ 7; 23 ∙ 32 ∙ 54 и 22 ∙ 33 ∙ 52.
Найдите наименьшее общее кратное данных чисел, разложив предварительно на простые множители:
а) 320 и 720; б) 252 и 840.
а) Экскурсантов можно рассадить в лодки по 8 или 12 человек в каждую. В любом случае свободных мест не останется. Сколько было экскурсантов, если их больше 80, но меньше 100?
б) Привезенные на рынок арбузы можно распределить на груды по 10 или 12 арбузов без остатка. Сколько арбузов привезли на рынок, если их больше 300, но меньше 400?

чисел 121, 613, 546, 12345 делятся на 3?
(3б). Даны числа

15897, 39456, 62173, 71835.
Выписать те, которые делятся: а) на 5; ,б) на 2 и на 3 одновременно.

(3б). Какие простые числа являются решением неравенства 42<х<62?

(4б). Два теплохода одновременно вышли из порта. Рейс одного из них длится 12 дней, а второго – 15 дней. Через сколько дней они снова встретятся в порту?

Вариант № 2
(2б). Какие из чисел 129, 98, 27, 14508 делятся на 9?

(3б). Даны числа 14893, 46382, 53280, 61545.
Выписать те, которые делятся: а) на 2; ,б) на 3 и на 5 одновременно.

(3б). Какие простые числа являются решением неравенства 9<х<44?

(4б). От остановки разными маршрутами одновременно отправляются два трамвая. Рейс одного из них длится 40 минут, а второго – 50 минут. Через какое время они снова встретятся на остановки?

в 6 классах./Федченко Л.Я., Литвиненко Г.Н.-Д.: ИППО, 2004.
Сборник заданий для

экзамена и контрольных работ по математике в 5-6 классах./Федченко Л.Я., Тесленко В.В.-Д.: ИППО, 2000.
Математика: Учебник для 6 класса./Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. – Х.: Гимназия, 2006.
Математика. 6 класс: Книга для учителя. /Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. – Х.: Гимназия, 2006.
Сборник задач и заданий для тематического оценивания по математике для 6 класса. /Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. – Х.: Гимназия, 2006.