Прикладные задачи на экстремумы

виден смысл какого-нибудь максимума или минимума. Л. Эйлер.

«наименьшее значение», «выгодное», «наилучшее», и меня заинтересовало решение таких задач.

Оказывается, что в математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно – двадцать пять веков назад. Долгое время к задачам на отыскание экстремумов (с лат. «экстремум» – «крайний») не было единых подходов.

методы решения и исследования задач на экстремумы. Тогда же выяснилось,

что некоторые специальные задачи оптимизации играют очень важную роль в естествознании. Задачи на максимум и минимум на протяжении всей истории математики играли важную роль в развитии этой науки.

и интересных задач в геометрии алгебре и других науках. В

решении конкретных задач принимали участие крупнейшие учёные прошлых эпох: Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Торричелли, Иоганн и Якоб Бернулли, Исаак Ньютон и многие другие. Решение конкретных задач стимулировало развитие теории, и в итоге были выработаны приёмы, позволяющие единым методом решать задачи самой разнообразной природы.

дроби», «Неравенства», «Системы линейных уравнений и неравенств», «Квадратичная функция», «Последовательности

и арифметическая прогрессия». На примере нескольких задач я расскажу о нахождении наибольшего и наименьшего значения в темах «Линейная функция», «Системы линейных неравенств и уравнений», «Рациональные дроби», «Квадратичная функция» и «Геометрия».

встречаются в теме «Линейная функция». Вот одна из них:
Имеются ящики,

в которые нужно упаковать 78 самоваров. Одни ящики вмещают 3 самовара, другие – 5 самоваров. Какое наименьшее количество ящиков нужно использовать, чтобы упаковать все самовары (недогрузка не допускается)?

через у. Тогда условие задачи даёт неопределённое уравнение вида 3х+5у=78.

Пары чисел (26; 0), (21; 3), (16;6), (11; 9), (6; 12), (1; 15) являются решениями данного уравнения. (1;15) – оптимальное решение задачи.
Ответ: нужно использовать 16 ящиков.

выстрелов. За каждое попадание он получал 5 очков, за каждый

промах снималось 2 очка. Победителем считался тот, кто набрал не менее 30 очков. Сколько раз стрелок должен был попасть в мишень, чтобы быть в числе победителей?

х, число промахов – через у, получим неравенство 5х-2у≥30. Составим

систему 5х-2у≥30, 5х-20+2х≥30, х>7, х+у=10; у=10-х; у<3. Решив систему получаем, что х={8,9,10}; y={2,1,0}. (8;2)–оптимальное решение. Ответ: наименьшее число попаданий – 8.

пробег в 24000 км, а шина на переднем колесе– в16000

км. Какой максимальный путь можно совершить на этих шинах?
Решение: Износ шины на заднем колесе будет равен 1/16000 км, а износ шины на переднем колесе – 1/24000 км. Износ шин на обоих колёсах равен:1/16000+1/24000=1/9600. Максимальный путь равен 1/(1/9600)∙2=19200 (км).

прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и углом 600 вписан

прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

АВС подобен треугольнику МВL по двум углам. Составим отношение между

сторонами треугольников: ВL:ВС=МL:АС. По теореме Пифагора ВС=8√3. Находим, что ВL=х√3. КL=16-4х√3:3. Площадь прямоугольника находим по формуле: S=x(16-4√3x/3)=-4√3х2/3+16х=-4√3:3(х-2√3)2 +16√3. Площадь будет наибольшей при х=2√3. Значит, КL=16(4∙2√3∙√3):3=8(см). Ответ: 2√3см и 8см.

оценки следует коснуться неравенства Коши для нескольких переменных: √а1а2…аn≤(а1+а2+…+аn)/n.
На одном

из предприятий стоимость х деталей, изготовленных рабочим сверхурочно, определяется по формуле у=0,1х2+0,5х+2. Определите количество деталей, при котором себестоимость одной детали была бы наименьшей.

Из трёх величин одна постоянная (0,5), а две другие –

переменные. Среднее геометрическое для переменных 0,1х и 2/х равно √0,2. Используя неравенство Коши для двух переменных получаем: 0,5+(2/х+0,1х)≥0,5+2√0,8; 0,5+(2/х+0,1х)≥0,5+√0,8. Левая часть неравенства принимает наименьшее значение равное 0,5+√0,8 .

х – это количество деталей, то х=4 или х=5.
Ответ: 4

или 5 деталей.

на преобразование плоскости. Основной задачей является старинная задача, написанная в

I веке до н. э. Вот как она звучит:
Даны две точки А и В по одну сторону от прямой ℓ. Требуется найти на ℓ такую точку D, чтобы сумма расстояний от А до D и от В до D была наименьшей.

ℓ. Соединим А с В1. Тогда точка D пересечения АВ1

с прямой ℓ – искомая. Действительно, для любой точки D`, отличной от D, имеет место неравенство: AD`+ D`B1>AB1 (т.к. в треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны); AD`+D`B>AD+DB.

на экстремумы встречаются в природе, сельском хозяйстве, в различных областях

промышленности. Большое число задач оптимизации возникает в космонавтике, химической промышленности и технике. Это задачи управления технологическими процессами, приборами и системами. Траектории света и радиоволн, движения маятников и планет, течения и многие другие движения являются решениями некоторых задач на максимум и минимум.