Применение производной в физике, математике, биологии и жизни

без практики мертва или бесполезна, практика без теории невозможна или

пагубна». А. Н. Крылов

Учитель математики ВКК МБОУ СОШ с углубленным изучением отдельных предметов Орлова О.В.
Г. Воронеж

умение применять свои знания

Техническое обеспечение:
Интерактивная доска
Компьютер
Диск

Тип урока:

интегрированный

закрепить применение техники дифференцирования
учить работать с теоретическими вопросами

темы
научиться применять производную в физике, биологии и математике
обобщить, систематизировать знания о производной

Скажите основное определение производной?
3. Знаете ли вы какие-нибудь примеры задач

с применением производной?

решать задачи с применением производной требует хорошего знания теоретического материала,

умения проводить исследование различных ситуаций.

Поэтому сегодня на уроке мы закрепим и систематизируем полученные знания, рассмотрим и оценим работу каждой группы и на примере некоторых задач покажем, как при помощи производной решать другие задачи и нестандартные задачи с применением производной.

(4,7)

439*

производная работы по времени:
W=lim ΔA/Δt ΔA – изменение работы.

II. Если тело вращается вокруг оси, то угол поворота есть функция времени t
Тогда угловая скорость равна:
W=lim Δφ/Δt=φ׳(t)
Δt→0
III. Сила тока есть производная
Ι=lim Δg/Δt=g′, где g – положительный электрический заряд переносимый через сечение проводника за время Δt.
IV. Пусть ΔQ – количество теплоты, необходимое для изменения температуры за Δt времени, тогда
lim ΔQ/Δt=Q′=C – удельная теплоёмкость.
V. Задача о скорости течения химической реакции.
m(t)-m(t0) – количество вещества, вступающее в реакцию от времени t0 до t
V= lim Δm/Δt=m’
Δt→0

V= lim Δm/Δt=m׳(t)
Δt→0
В дифференцированной форме закон радиоактивного распада имеет вид:
dN/dt=-גN, где N – число ядер не распавшихся время t.
Интегрируя это выражение, получаем: dN/N= -גdt ∫dN/N= -ג∫dt lnN= -גt+c, c=const
при t=0 число радиоактивных ядер N=N0, отсюда имеем: ln N0=const, следовательно ln N=-גt+ln N0.
Потенциируя это выражение получаем:



 - закон радиоактивного распада, где N0 – число ядер в момент времени t0=0, N – число ядер, не распавшихся за время t.

нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно

решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки, техники и жизни.

свойства. Философское высказывание Гильберта: «У каждого человека есть определённый кругозор.

Когда этот кругозор сужается до бесконечного малого, то он обращается в точку. Тогда человек и говорит что это и есть его точка зрения.»
Давайте попробуем измерить точку зрения на применении производной!
Рассмотрим падение как неравномерное движение зависящее от времени.
Итак: S=S(t) V=S′(t)=x′(t), a=V′(t)=S″(t)


F=ma F=mV′ F=mS″

Запишем II закон Ньютона:
F=mV′ F=mS″

: F=ma F=mV' F=mS''
Решение многих задач физики, технической биологии

и социальных наук сводятся к задаче нахождения функций y=f(x), удовлетворяющих дифференциальному уравнению f'(x)=kf(x), где k= const .

раз он меньше звезды:

Человек Звезда
------------ = ------------
Атом Человек



Отсюда следует, что Человек = Звезда* Атом




Это и есть формула, определяющая место человека во вселенной. В соответствии с ней размеры человека представляют среднее пропорциональное звезды и атома.

изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием

различных условий.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах.

Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.

явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение

приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений каких-либо величин.

точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 –

b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние между частицами. Найти: а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы; б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).

= U(r) на экстремум.
Используя связь между потенциальной энергией поля

U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = -(2a/r3+b/r2)=0;
при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;
Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0;
равновесие устойчивое.


 

Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:
F = 2a/r3— b/r2;
dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;
при r = r1 = 3a/b;
подставляя, получу Fmax = 2a/r31 — b/r31 = - b3/27a2;
U(r) = 0; при r = a/b; U(r)min при r = 2, a/b = r0;
F = 0; F(r)max при r = r1 = 3a/b;
Ответ: F(r)max при r = r1 = 3a/b;

от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет

ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R.

r0*m;
а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат =

m*E,
По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m)
Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn;
J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n);
Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.
J’n-(kE(R—kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;
n2 = kr/R
n = √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4;
m = k/n = 36/4 = 9;
при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;
Ответ: n = 4, m = 9.

силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость

погрузки постоянна и равна  кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью  кг/с.

системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:
dP/dt =

F
P – импульс системы платформа-песок, F – сила, действующая на систему платформа-песок.
Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:
dp/dt = F
Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени t: p = (M+(t+t))(u+u) – (M+t)u =Ft;
где u – скорость платформы.
Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:
p = ut + Mu+ut+ ut =Ft
Разделим на t и перейдем к пределу t 0
Mdu/dt+tdu/dt+u=F или d[(M+t)u]/dt = F
Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю: (M+t)u = Ft.
Следовательно: u = Ft/(M+t)
Тогда, ускорение платформы: a = du/dt =
=(F(M+t)-Ft)/(M+t)2 =
=FM / (M+t)2

малый промежуток времени:
p = (M-(t+t))(u+u) +tu – (M-t)u = Ft
Слагаемое

tu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время t. Тогда:
p = Mu - tu - tu = Ft
Разделим на t и перейдем к пределу t 0
(M-t)du/dt = F
Или a1=du/dt= F/(M-t)
Ответ: a = FM / (M+t)2 , a1= F/(M-t)

скорость движения материальной точки в конце З-й секунды, если движение

точки задано уравнением s = t^2 -11t + 30.

№ 2 Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t^2. В какой момент ее скорость окажется равной нулю?

№ 3 Два тела движутся прямолинейно: одно по закону s = t^3 – t^2 - 27t, другое — по закону s = t^2 + 1. Определить момент, когда скорости этих тел окажутся равными.

№ 4 Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t) =30t—16t^2, где s(t) - путь в метрах, t - время торможения в секундах. В течении какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

= 2t^2+ 3t - 1. Найти кинетическую энергию тела (mv^2/2)

через 3 секунды после начала движения.
Решение: Найдем скорость движения тела в любой момент времени:
V = ds / dt = 4t + 3
Вычислим скорость тела в момент времени t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (м/с).
Определим кинетическую энергию тела в момент времени t = 3:
mv2/2=8-15^2 /2=900 (Дж).

№6 Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид s = Зt^2— 1.

№7 Тело, масса которого 30 кг, движется прямолинейно по закону s = 4t^2 + t. Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы.
Решение: Имеем s' = 8t+1, s" = 8. Следовательно, a(t) = 8 (м/с^2), т. е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м/с^2. Далее, так как масса тела постоянна (30 кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила F=ma=30*8=240 (H)-также постоянная величина.

в конце 3-й секунды.
№8 Тело массой 3 кг движется прямолинейно

по закону s(t)=t^3-3t^2+2. Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4с.

теоретические факты обобщались на уроке?
Какие рассмотренные задачи оказались наиболее сложными?

Почему?

дифференциальные уравнения.- Минск: Высшая школа, 1982.-272с.
Амелькин В.В.

Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987.-160с.
Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.- Минск: Наука и техника, 1979.- 744с.
Журнал «Потенциал» Ноябрь 2007 №11
«Алгебра и начала анализа» 11 класс С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.
«Алгебра и математический анализ» Н.Я. Виленкин и др.
«Математика» В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик 1991 год