Различные способы решения квадратных уравнений

же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи.

Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче, эффективнее. Так вырабатывается опыт".

4x – 5 = 0.
Разложим левую часть на множители:
x2-x+5

х – 5 = 0 ;
( х2 – х ) + ( 5 х – 5) = 0;
х ( х – 1 ) + 5( х – 1 ) = 0;
( х – 1 )( х +5 ) = 0
Тогда х1 = 1 и х2 = - 5
Ответ: 1; -5

5= 0.
х2 +4x=5;
х2 + 22х=5;
х2 + 22 х +4=5+4;
( х

+ 2 )2 =9.
Следовательно,
х + 2= 3 или х +2= - 3
х1 = 1 х2 = -5

Ответ: 1; -5

= 0, а ≠ 0, имеет корни


Решим уравнение х2

+ 4х – 5= 0, а ≠ 0.
x1=-4+ 16-41(-5)= -4+ 36 = -4+6 =1
21 2 2
x1= -4- 16-4•1(-5)= -4- 36 = -4-6 = -5
21 2 2

Ответ: 1; -5

x1,2=
Решим уравнение x2+4x-5=0,a>0;k=2.




Ответ: 1; -5

q = 0.
 Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при

а =1 имеет вид
x1 x2 = q,
x1 + x2 = - p.
Применим этот способ к нашему уравнению
 x2+4x-5=0.
x1+x2=-4, x1=1,
x1•x2=-5; x2=-5.


Ответ: 1; -5

где а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем

уравнение
а2х2+ аbх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению
у2 + by + ас = 0,
равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.
Окончательно получаем х1 = у1/а и х2= у2/а.

, ах = у, а=1.
у2 + 4у – 5= 0

По т.Виета у1 = 1,у2 = -5.
Значит , x1=1,x2=-5.

Ответ: 1; -5

0, a=0.
1)Если a+b+c=0, то x1=1,x2=c/a.
2) Если a-b+c=0, то x1=-1,x2=-c/a.

0.
а + b + с = 0, 1 + 4

– 5= 0
х1 = 1,
х2 = с/а = -5/1= -5.

Ответ: 1; -5

рх + q = 0 перенести второй и третий члены

в правую часть, то получим
х2 = – рх – q.
Построим
графики зависимостей
у = х2 и у = – рх – q.
(рис.1)

имеет два решения.
2) Если прямая и парабола пересекаются в одной

точке, то уравнение имеет одно решение.
3)Если прямая и парабола не пересекаются, то уравнение не имеет решений.

и y=-4x+5
Прямая и парабола пересекаются в двух точках абсциссами х1

= 1, х2 = -5

Ответ: 1; -5

( -b/2a ; (а+с) /2a )(центр окружности) и А (0

; 1).
2)Проведем окружность с радиусом SA;
3)Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ОХ является корнями исходного квадратного уравнения.

точки центра окружности по формулам:
S ( - b/2a ;(а+с )/2a

)
х = - b/2a = -4/2 = -2
у = (а+с) /2a =(1+(-5)):2 = - 2
S ( - 2 ; - 2) и А ( 0 ; 1 ).
2. Проведем окружность с R = SA , где А ( 0 ; 1 ).
R=

= 1, х2 = - 5
Ответ: 1; -5

положительных корней уравнения z2+pz+q=0
Если это уравнение имеет корни

разных знаков , то , найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят ,вычитая положительный из -p .В случае ,когда оба корня отрицательны, берут
z=-t и находят по номограмме два положительных корня t1 и t2 уравнения t2-pt+q=0,а затем z1=-t1, z2=-t2.Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкал, выполняют подстановку z=kt и решают посредством номограммы уравнение

Уравнение, где k берется с таким расчётом, чтобы имели место неравенства:

корень
х1= 1
Найдем x2
x2=-p-1=-4-1=-5.
Ответ: 1; -5

= 1 х
Sкв = 1 1= 1
SABCD = х2

+ 4  Sпрям + 4  Sкв
SABCD = х2 + 4  1х + 4 1= х2 + 4х + 4
заменяя х2 + 4х числом 5, получим, что S = 5+ 4 =9.
Имеем (x+2)2=9
АВ = 3
х = 3 – 1 –1= 1.
Ответ: 1; -5

A

B

C

D

приведённого квадратного уравнения х2 +

px + q = 0 полезно воспользоваться формулой

х2 + 4х= 5.

Ответ: 1; -5

квадрат-
ных уравнений, который применим к приведенным квадратным
уравнениям
Обозначения
atr, btr –

длины катетов прямоугольного тре-
угольника (далее просто катеты);
ctr – длина гипотенузы прямоугольного тре-
угольника (далее просто гипотенуза);
αtr, βtr – острые углы против катетов atr и btr
соответственно;
φtr – один из острых углов прямоугольного
треугольника (atr или btr );
mtr – длина медианы, опущенной на гипоте-
нузу (далее просто медиана);
htr – длина высоты, опущенной на гипотенузу
(далее просто высота);
θtr – угол между медианой и высотой;
?tr – угол между медианой и гипотенузой.

), как


2. определить величину угла φ (соответст-
вует углу φtr ),

как


или как
 
3. определить первый корень:
4. определить второй корень:
или

самым удачным.

смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи,

то решайте их». Мне хочется продолжить, если хотите научиться решать уравнения, то решайте их и не просто решайте, а решайте с вдохновением самым удачным и подходящим способом. Ведь Г.Лейбниц заметил: «Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе - быть ясным и, насколько можно, простым». Ваше решение должно приносить Вам удовлетворение!

по математике.-3-е изд., перераб./ Гусев В.А., Мордкович А.Г.-М.: Просвещение,1995.
Газета «Математика»

№24 июнь 1995 г.
Журнал «Квант» №2 1996 г.
В.В. Ткачук «Математика абитуриенту» 2001 г.
«Энциклопедия элементарной математики» Книга вторая. Алгебра, 1951 г.
Л.Ф.Пичурин «За страницами учебника алгебры"