"Решение уравнений с параметрами"

данных уравнений в общих случаях.
3. Научиться решать уравнения и системы

уравнений с параметрами.

Цель занятия:

параметра а.

2. Найти все значения параметра а, при котором система

уравнений имеет единственное решение:
⌠х2 + у2 = а
⌡х – у = а

Задания

обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение – уравнением

с параметрами.



В таких уравнениях, кроме букв, обозначающих неизвестное ( x, y, z), содержатся другие буквы
(a, b, c ), называемые параметрами.
Например: х – а = 12, 9х = а, ( а – 2) х = 6
Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений. При одних значениях параметра уравнение не имеет корней, при других – один корень, при третьих – два корня.

= 12
х =

3


2. Решить уравнение:
ах = 12
при а = 2 уравнение имеет вид:
2х = 12, х = 6
при а = 3 уравнение имеет вид:
3х = 12, х = 4
при а = 0 уравнение имеет вид:
0х = 12, нет корней
Ответ: х = 12/ а , при а ≠ 0;
нет корней, при а = 0

природу. Во – первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром

как с числом, а во – вторых, степень свободы «общения» ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.
Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром – это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

параметров
Перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а

все члены, не содержащие неизвестного – в правую
Привести подобные слагаемые
Решить уравнение: ах = b

0, b – любое число,
то уравнение имеет
один корень
х

= b/а

если а = 0 и b = 0,то
уравнение имеет вид:
0х =0,
х – любое число

если а = 0, b≠ 0, то
уравнение не имеет
корней

0, b – любое число. Уравнение имеет единственное решение: х

= b/а
2. а = 0, b = 0. Уравнение имеет вид: 0х = 0, решение – все х
3. а = 0, b ≠ 0.Уравнение имеет вид: 0х = b, нет решений

2х = 4 + а

х = 4 + а
2 Ответ: х = 4 + а
2

2) х (а – 8) = 10
А) х = 10
а – 8
В) х = 8
С) х = 10
а + 8

Д) х = 0

Е) х = 10 , при а ≠ 8; нет корней, при а = 8
а - 8

ах – 12 = 2х имеет корень 3?

При х = 3 получаем уравнение:
3а – 12 = 6
3а = 18
а = 6 Ответ: а = 6
4) Найти значения параметра а, при котором уравнение х2+(3а – 2)х+а2=0 не имеет решения

Это квадратное уравнение, находим Д:
Д = (3а – 2)2 – 4а2 = 5а2 -12а + 4
Д < 0, 5а2 -12а +4 < 0
5(х – 0,4) (х – 2) < 0
Ответ: ( 0,4; 2)

значениях параметра а уравнение ах – 15 = 2х имеет

корень 3?
3. Решить уравнение: 8х - 32а =16
4. При каких значениях параметра а уравнение 3а + 4х = ах + 5 не имеет решения?
5. При каких значениях параметра а уравнение х2–(а +3)х + 4а – 4 = 0 имеет один корень?

= 7

И
а = 5

О

Ч
х = 3 – 2а

_5__
а + 2 х

(а+2)х


1 + 1 = 1 - 3
ах х а

а, при котором система имеет единственное решение:
⌠ х2 + у2

= а
⌡ х - у = а х = а + у
( а + у )2 + у2 = а
а2 +2ау + у2 + у2 = а
2у2 + 2ау +а2 – а = 0
Д = 4а2 – 8(а2 – а) = 4а2 -8а2 + 8а=-4а2 + 8а
Д = 0, -4а2 + 8а = 0
- 4а( а – 2) = 0
-4а = 0 а – 2 = 0
а = 0 а = 2 Ответ: а =0, а = 2

+ ау = 1
⌡х – 3ау = 2а

+ 3

2) ⌠х + ау = 1
⌡ах + у = 2а