Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

исследовательских работ «Интеллектуальное будущее Мордовии – 2008»
Секция: математика
Научный руководитель: Чудаева

Е. В.,
учитель математики

Автор работы: ЛУКИНА НИНА, 9 кл;

Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

знаком модуля
способы решения уравнений
Цель работы:
ознакомление учащихся с теоретическими основами

решения уравнений с модулем, рекомендациями к решению, алгоритмирование процесса решения уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

графического образа линий, входящих в данное уравнение.

3) Эксперимент: исследование различных

подходов и методов решения уравнений; исследование изменения вида кривой, в зависимости от параметров входящих в её уравнение .

Методы исследования:

по правилам
1.3. Задачи с несколькими модулями. Последовательное и параллельное раскрытие

модулей
1.4. Метод интервалов в задачах с модулями
1.5. Вложенные модули
1.6. Модули и квадраты
1.7. Модули неотрицательных выражений
ГЛАВА 2. Функционально-графический способ решения задач.
2.1. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины
2.2. Построение графиков уравнений, содержащих знак модуля
2.3. Графическое решение уравнений, содержащих знак модуля
2.4. Графическое решение задач с параметром и модулем
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ. Исследование вида графического образа заданного неравенством , в зависимости от параметров a и b

Содержание работы

неотрицательного числа a совпадает с самим числом, а модуль отрицательного

числа равен противоположному числу, то есть – a:

Запишем решение простейших уравнений в общем виде:

Пример. Решить уравнение |x –3| = 3 – 2x.
Рассматриваем два случая.
При x – 3> 0 уравнение принимает вид x – 3 = 3 – 2x, откуда x = 2. Но это значение не удовлетворяет неравенству x – 3 > 0, потому не входит в ответ исходного уравнения.
При x – 3 < 0 получаем 3 – x = 3 – 2x и x = 0. Этот корень удовлетворяет соответствующему условию x – 3 < 0.
Итак, ответ к исходному уравнению: x = 0.
Ответ: х = 0.

 ⇔
ЗАМЕЧАНИЕ. Фигурные скобки обозначают системы, а квадратные – совокупности.

Решения системы уравнений – это значения переменной, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям системы.
Решениями совокупности уравнений являются все значения переменной, каждое из которых есть корень хотя бы одного из уравнений совокупности.

1.2. Решение уравнений по правилам

(целых 4) варианта распределения знаков выражений под модулями здесь не

нужно: это уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений без каких-либо дополнительных неравенств:




Которая равносильна:



Первое уравнение совокупности решений не имеет (его дискриминант отрицателен), второе уравнение имеет два корня .

Ответ:

Решить уравнение:

Решение. Заметим, что

, тогда уравнение примет вид:



Пусть , тогда решим квадратное уравнение:

Его корни , условию удовлетворяет первый корень.

Возвращаясь к переменной х, получаем уравнение

решая которое находим:


Ответ: .

один из модулей изолируется в одной части уравнения (или неравенства)

и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей.

Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений. При снятии модуля может получить один из двух знаков – плюс или минус. Эти области определяются знаками выражений под модулями.

«последовательное»
раскрытие модулей

«параллельное» раскрытие модулей

есть просто определением абсолютной величины:
К полученным двум уравнениям применяем второй

способ освобождения от модуля:

  Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам :

1способ

а значит, и исходному уравнению.
2способ
Решение.
Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений

под модулями.

которое входят три модуля от линейных выражений; например: |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.
      

Первый модуль равен x – a при x ³ a и a – x при x < a. Второй равен x – b или b – x при x ³ b и x < b соответственно. Аналогично раскрывается и третий модуль. Нарисуем эти области и возьмем их пересечения.

В частности, если все выражения под модулями рациональны, то достаточно отметить на оси их корни, а также точки, где они не определены, то есть корни их знаменателей. Отмеченные точки и задают искомые промежутки знакопостоянства.

x=-3. Рассмотрим 3 возможных набора знаков выражений под модулями.
Решаем задачу

на каждом интервале:

Итак, данное уравнение не имеет решений.

где внутри одного модуля находится другой, а то и несколько.

Решение.
Освободимся от внешнего модуля, получим:

двух неотрицательных чисел то больше, квадрат которого больше, а если

квадраты равны, то и числа равны: a > b ⇔ a2 > b2; a = b ⇔ a2 = b2.
    Во-вторых, квадрат модуля числа равен квадрату самого числа: |a|2 = a2. Поэтому допускается такое равносильное преобразование:

под знаком второго, третьего и т.д. модулей положительны. И поскольку

модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим

3| x + 2 | + x 2 + 6x + 2

= 0.

x | + | (x – 1)(x – 3) | = 3.
Для решения

уравнения графическим способом, надо построить графики функций

Парабола пересеклась с «уголком» в точках с координатами (1; 0), (2; 1) и (4; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек:

совокупности
Выражая параметр а, получаем:
График этой совокупности –
объединение уголка

и параболы.

пересекает полученное
объединение в трех точках.

имеет ровно три корня?

Ответ:

1

2

3

4

5

-1

-2

-1

1

х

а

а = -1

Прямая

знаком модуля» мы:
Изучили литературу по данному вопросу.
Познакомились с алгебраическим и

графическим подходом к решению уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.
Исследовали количество решений уравнения, в зависимости от параметров входящих в её условие.
и пришли к выводу:
В ряде случаев при решении уравнений с модулем, возможно, решать уравнения по правилам, а иногда удобнее воспользоваться геометрический способ решения, который, к сожалению, не всегда применим, из-за сложности изображения линий входящих в условие задачи.
При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ