Разделы презентаций


Такая разная геометрия

Содержание

Цели исследования:Изучить исторический материал, связанный с проблемой параллельности прямых.Найти, существует ли доказательство пятого постулата Евклида?Выявить, существуют ли геометрии, отличные от евклидовой?

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Такая разная
геометрии

Такая разнаягеометрии

Слайд 2Цели исследования:
Изучить исторический материал, связанный с проблемой параллельности прямых.
Найти, существует

ли доказательство пятого постулата Евклида?
Выявить, существуют ли геометрии, отличные от

евклидовой?

Цели исследования:Изучить исторический материал, связанный с проблемой параллельности прямых.Найти, существует ли доказательство пятого постулата Евклида?Выявить, существуют ли

Слайд 3Геометрия Евклида
Первым систематическим изложением геометрии, дошедшим до нашего времени, являются

“Начала” – сочинения александрийского математика Евклида.

Геометрия ЕвклидаПервым систематическим изложением геометрии, дошедшим до нашего времени, являются “Начала” – сочинения александрийского математика Евклида.

Слайд 4В “Началах” был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который

состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а

затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы).
Изложение геометрии Евклидом долгое время служило недосягаемым образцом точности, безукоризненности и строгости.
Только в начале 20 века математики смогли улучшить логические основания геометрии.

«Начала»

В “Началах” был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные

Слайд 5Постулаты Евклида
Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести

прямую;
Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;
Из любого центра можно описать

окружность любого радиуса;
Все прямые углы равны;
И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых
Постулаты ЕвклидаИз каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую;Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;Из любого

Слайд 6О чем говорится в V постулате Евклида?
Если две прямые а

и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние

углы a и в, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180°; рис. 1), то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы а и в (составляющие вместе менее 180°).
О чем говорится в V постулате Евклида?Если две прямые а и в образуют при пересечении с третьей

Слайд 7Как формулируется равносильная аксиома параллельности?
К данной прямой через данную вне

ее точку можно провести не более одной параллельной прямой.

а
b
B

Как формулируется равносильная аксиома параллельности?	К данной прямой через данную вне ее точку можно провести не более одной

Слайд 8 Вообразим, что мы взяли две точки А и В на

расстоянии 1 м друг от друга и провели через них две

прямые а и в, причем так, что а образует с прямой АВ угол а=900, а угол между прямыми в и АВ равен 89059'59" (рис. 2). Иначе говоря, сумма двух внутренних односторонних углов а и в всего на 1 угловую секунду меньше 1800.

Продолжим прямые а и в, пока они не пересекутся в точке С. В результате получится прямоугольный треугольник АВС, у которого угол А прямой, угол при вершине С равен y и составляет 1 угловую секунду. Катет АС этого треугольника имеет длину с/tg y=2,06*105. Следовательно, длина катета АС составляет приблизительно 2,06*105 м= =206 км (на самом деле немного больше).

Вообразим, что мы взяли две точки А и В на расстоянии 1 м друг от друга и провели

Слайд 9Угол в 1 угловую секунду достаточно ощутим (например, при астрономических

расчетах). Но проверить, что указанные выше прямые а и в

пересекаются на расстоянии 206 км от прямой АВ, совсем не просто. Ведь изготовить плоский лист бумаги и линейку более 200 км не представляется возможным. Использовать оптические приборы? Но тогда надо добавить еще один постулат: свет распространяется по прямой (а это уже не геометрия, а физика). А если сумма углов а и в отличается от 180° еще менее чем на 1 угловую секунду?!

Пятый постулат Евклида не так уж прост и убедителен.

Угол в 1 угловую секунду достаточно ощутим (например, при астрономических расчетах). Но проверить, что указанные выше прямые

Слайд 10 Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому,

что очень многие математики, жившие после Евклида, стремились заменить аксиому

о параллельных прямых более простой, интуитивно ясной, либо доказать ее как теорему, опираясь на другие аксиомы "Начал". Шла подлинная затяжная "война" математиков с пятым постулатом. Многие ученые, жившие в разные века в различных странах, приняли в ней участие, но особенно далеко продвинулись "в сражениях" Саккери Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, стремились заменить аксиому о параллельных прямых более простой, интуитивно ясной, либо доказать ее как теорему, опираясь на другие аксиомы "Начал". Шла подлинная затяжная "война" математиков с пятым постулатом. Многие ученые, жившие в разные века в различных странах, приняли в ней участие, но особенно далеко продвинулись "в сражениях" Саккери, Лежандр Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, стремились заменить аксиому о параллельных прямых более простой, интуитивно ясной, либо доказать ее как теорему, опираясь на другие аксиомы "Начал". Шла подлинная затяжная "война" математиков с пятым постулатом. Многие ученые, жившие в разные века в различных странах, приняли в ней участие, но особенно далеко продвинулись "в сражениях" Саккери, Лежандр, Гаусс Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, стремились заменить аксиому о параллельных прямых более простой, интуитивно ясной, либо доказать ее как теорему, опираясь на другие аксиомы "Начал". Шла подлинная затяжная "война" математиков с пятым постулатом. Многие ученые, жившие в разные века в различных странах, приняли в ней участие, но особенно далеко продвинулись "в сражениях" Саккери, Лежандр, Гаусс, Больяй Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, стремились заменить аксиому о параллельных прямых более простой, интуитивно ясной, либо доказать ее как теорему, опираясь на другие аксиомы "Начал". Шла подлинная затяжная "война" математиков с пятым постулатом. Многие ученые, жившие в разные века в различных странах, приняли в ней участие, но особенно далеко продвинулись "в сражениях" Саккери, Лежандр, Гаусс, Больяй, и Лобачевский.
Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида,

Слайд 11Итак, на базе этих постулатов шло успешное развитие геометрии, но

в то время как другие постулаты считались совершенно очевидными, очевидность

пятого постулата оспаривалась. Много веков усилия большого числа ученых были направлены на доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что число аксиом стремились свести к минимуму.
Ученые думали, что пятый постулат можно доказать как теорему, опираясь на остальные. Многие геометры пытались обойти его, заменяя пятый постулат другим, казавшимся более очевидным. На этом пути было сформулировано много положений, но все они были эквивалентны пятому постулату Евклида.
Итак, на базе этих постулатов шло успешное развитие геометрии, но в то время как другие постулаты считались

Слайд 12Например:
сумма углов треугольника равна 180°,
во всех треугольниках сумма углов

одна и та же,
через любую точку внутри угла можно

провести секущую, пересекающую обе стороны угла,
существуют два подобных, но не равных треугольника,
теорема Пифагора,
для всякого треугольника существует описанная окружность и др.

Например:сумма углов треугольника равна 180°, во всех треугольниках сумма углов одна и та же, через любую точку

Слайд 13 В конце 18 века у некоторых геометров возникла

мысль о невозможности доказать пятый постулат. Допустив, что пятый постулат

неверен, математики пытались прийти к логическому противоречию. Они приходили к утверждениям, противоречащим нашей геометрической интуиции, но логического противоречия не получалось.

В конце 18 века у некоторых геометров возникла мысль о невозможности доказать пятый постулат. Допустив,

Слайд 14А может быть на этом пути вообще не прийти к

противоречию?

А может быть на этом пути вообще не прийти к противоречию?

Слайд 15 Не может ли быть так, что заменив пятый постулат его

отрицанием, мы придём к новой неевклидовой геометрии, которая во многом

не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но, тем не менее не содержит никаких логических противоречий?

Не может ли быть так, что заменив пятый постулат его отрицанием, мы придём к новой неевклидовой геометрии,

Слайд 16Другая геометрия?

Другая геометрия?

Слайд 17Геометрия Лобачевского
Лобачевский построил новую геометрию, откинув постулат Евклида, заменив его

другим, прямо противоположным по смыслу: “Через точку А вне прямой

а в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, проходит по крайней мере две прямые с и в не имеющие общей точки с прямой а”.

Геометрия ЛобачевскогоЛобачевский построил новую геометрию, откинув постулат Евклида, заменив его другим, прямо противоположным по смыслу: “Через точку

Слайд 18И не получил противоречия.
Отсюда следует, что таких прямых может

быть бесконечное количество.
Доказывая много десятков теорем, не обнаруживая логических

противоречий, Лобачевскому пришла в голову догадка о непротиворечивости такой геометрии, он назвал её воображаемой.
В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования пятого постулата.

И не получил противоречия. Отсюда следует, что таких прямых может быть бесконечное количество. Доказывая много десятков теорем,

Слайд 19Например:
вертикальные углы равны;
углы при основании равнобедренного треугольника равны;
из

данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр


и др.
Например:вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую

Слайд 20Однако, теоремы, где применяется аксиома параллельности прямых, видоизменяются:
Теорема о сумме

углов треугольника готовит первый “сюрприз”: в геометрии Лобачевского сумма углов

любого треугольника меньше 180°. Разность между 180° и суммой углов треугольника положительна и называется дефектом (D) этого треугольника. Формула для площади треугольника S=k*D, то есть площадь связана с его дефектом. Самую большую площадь имеет треугольник с нулевыми углами, а его стороны имеют бесконечную длину
Однако, теоремы, где применяется аксиома параллельности прямых, видоизменяются:Теорема о сумме углов треугольника готовит первый “сюрприз”: в геометрии

Слайд 21В геометрии Лобачевского:
Два неравных равносторонних треугольника имеют неравные углы.
В

геометрии Лобачевского не существует подобных фигур.
Если углы одного треугольника

равны соответственно углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону есть кривая линия, которая называется эквидистантой.

В геометрии Лобачевского:Два неравных равносторонних треугольника имеют неравные углы. В геометрии Лобачевского не существует подобных фигур. Если

Слайд 22Возможные расположения двух прямых на плоскости Лобачевского:
Две несовпадающие прямые

либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо являются расходящимися


Возможные расположения двух прямых на плоскости Лобачевского: Две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны,

Слайд 23Геометрия Римана
Через некоторое время идеи Лобачевского были приняты математиками, и

следующим этапом развития геометрии стала эллиптическая геометрия Римана. Риман исходил

из того, что через точку, не лежащую на данной прямой, вообще нельзя провести прямую, не пересекающую данную.
Геометрия Римана	Через некоторое время идеи Лобачевского были приняты математиками, и следующим этапом развития геометрии стала эллиптическая геометрия

Слайд 24В геометрии Римана:
две прямые всегда пересекаются, параллельных прямых совсем нет;


сумма углов прямолинейного треугольника больше 180°;
прямая имеет конечную длину,

плоскость – конечную площадь и др.
В геометрии Римана:две прямые всегда пересекаются, параллельных прямых совсем нет; сумма углов прямолинейного треугольника больше 180°; прямая

Слайд 26Каково же применение нелинейных геометрий?


Геометрии Евклида, Лобачевского и Римана являются

в свою очередь частными случаями общей геометрии Римана для многомерных

искривлённых пространств.
Каково же применение нелинейных геометрий?Геометрии Евклида, Лобачевского и Римана являются в свою очередь частными случаями общей геометрии

Слайд 27Современники Лобачевского, потом и Римана отказывались принимать новую геометрию. Но

в начале 20 века, как гром среди ясного неба Эйнштейн

создаёт теорию относительности, частным случаем которой является теория тяготения Ньютона.
Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, описываемая в теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского.
Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.
Современники Лобачевского, потом и Римана отказывались принимать новую геометрию. Но в начале 20 века, как гром среди

Слайд 28Следствием теории относительности явился в частности тот факт, что наше

как мы думали трёхмерное евклидово пространство на самом деле таковым

не является.
А живём мы в четырёхмерном искривлённом пространстве-времени, которое описывается общей геометрией Римана.
Тяготение на самом деле результат искривления пространства вблизи массивных тел.
Следствием этого является замедление времени вблизи тяжелых тел, кратчайшее расстояние между точками не прямая, а некоторая кривая и др.
Следствием теории относительности явился в частности тот факт, что наше как мы думали трёхмерное евклидово пространство на

Слайд 29Установлено достоверно замедление времени при скоростях, близких к скорости света.

Параметры орбиты Меркурия, самой близкой к Солнцу планеты не укладывались

в теорию тяготения Ньютона, а теория относительности смогла это объяснить искривлением пространства вблизи Солнца.
Установлено достоверно замедление времени при скоростях, близких к скорости света. Параметры орбиты Меркурия, самой близкой к Солнцу

Слайд 30 Кривизна пространства проявляется в больших масштабах и вблизи массивных космических

тел, а в повседневной жизни на нашей планете мы можем

с успехом пользоваться геометрией Евклида и механикой Ньютона с большой точностью, так как нелинейные поправки на кривизну пространства ничтожно малы.
Кривизна пространства проявляется в больших масштабах и вблизи массивных космических тел, а в повседневной жизни на нашей

Слайд 31В каком мире
мы живем?
Какой геометрией
он описывается?
?

В каком мире мы живем? Какой геометрией он описывается??

Слайд 32От этого знания
зависит
судьба
Вселенной!!!

От этого знания зависит судьба Вселенной!!!

Слайд 33Сейчас вселенная расширяется, но если масса вещества всей вселенной превысит

определенный порог, то расширение сменится сжатием, то есть пространство будет

искривлено таким образом, что луч света, однажды покинув одну точку, вернется обратно, а это значит, мы живем в мире эллиптической геометрии Римана. Если массы не хватит, то вселенная будет расширяться неограниченно, а значит, мы живем в мире гиперболической геометрии Лобачевского
Сейчас вселенная расширяется, но если масса вещества всей вселенной превысит определенный порог, то расширение сменится сжатием, то

Слайд 34Завершить
показ

Завершить показ

Слайд 35Исследования Саккери
Гипотезу тупого угла, допускающую существование четырехугольника, у которого

четвертый угол ф тупой, Саккери отверг при помощи строгого рассуждения.

Однако доказать, что и гипотеза острого угла неверна, ни сам Саккери, ни его последователи не смогли. Неприступная "крепость" пятого постулата осталась непокоренной.

Итальянец Саккери рассматривал четырехугольник с тремя прямыми углами (рис. 3). Четвертый угол (обозначим его через ф) мог оказаться прямым, тупым или острым. Саккери установил, что гипотеза прямого угла, т.е. утверждение о том, что четвертый угол ф всегда равен 900, позволяет доказать пятый постулат. Иначе говоря, гипотеза прямого угла представляет собой новую аксиому, эквивалентную пятому постулату.


Исследования Саккери Гипотезу тупого угла, допускающую существование четырехугольника, у которого четвертый угол ф тупой, Саккери отверг при

Слайд 36Исследования Лежандра
Французского математик Адриен Мари Лежандр, в каждом издании

книги, посвященной евклидовой геометрии, приводил рассуждение, в котором, по его

мнению, доказывался пятый постулат.
Но неизменно в следующем издании автор, признавая, что в его рассуждении использовалось некое утверждение (не сформулированное им явно) - "очевидное", но в действительности представлявшее собой новую аксиому, эквивалентную пятому постулату.
Ни одна из попыток Лежандра не привела к успеху.


Исследования Лежандра 	Французского математик Адриен Мари Лежандр, в каждом издании книги, посвященной евклидовой геометрии, приводил рассуждение, в

Слайд 37Исследования Гаусса
Гаусс обратился к теории параллельных в 1792 г. Сначала он

надеялся доказать пятый постулат, но затем пришел к мысли о

построении новой геометрии, которую назвал неевклидовой.
В 1817 г. в одном из писем признался: "Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана". Но обнародовать эти идеи он не решился из боязни быть непонятым.


Гаусс не опубликовал ни один из своих результатов, хотя из его писем и личных бумаг видно, что он разработал основные положения неевклидовой геометрии.

Исследования Гаусса	Гаусс обратился к теории параллельных в 1792 г. Сначала он надеялся доказать пятый постулат, но затем пришел

Слайд 38Исследования Януша Больяй
Творцом новой геометрии стал так же и венгерский

математик Янош Больяй (1802 - 1860). В отличие от Гаусса

он стремился распространить свои идеи, но большинство математиков тогда еще не были готовы их воспринять.

Результаты Яноша Больяя были сжато изложены в 1832 г. в приложении книге его отца, Фаркаша Больяя. Труд Я. Больяя "Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)" обычно кратко называют "Аппендикс" (от лат. "приложение").


Исследования Януша Больяй	Творцом новой геометрии стал так же и венгерский математик Янош Больяй (1802 - 1860). В

Слайд 39Исследования Лобачевского
Русский математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский, писал,

что задача о параллельных прямых представляет собой "трудность, до сих

пор непобедимую, но между тем заключающую в себе истины ощутительные, вне всякого сомнения, и столь важные для целей науки, что никак не могут быть обойдены".


Исследования ЛобачевскогоРусский математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский, писал, что задача о параллельных прямых представляет собой

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика