Теорема Чевы и ее применение для решения задач (подготовка к ЕГЭ)

г. Курчатова Курской области
Теорема Чевы и ее применение для решения

задач (подготовка к ЕГЭ)

б) теорема Менелая
2. Теорема

Чевы.
3. Применение теоремы для решения задач.
4. Применение теорем Чевы и Менелая при подготовке
к ЕГЭ

общую сторону АВ. Тогда отношение их площадей равно отношению высот,

проведенных из вершин С и D.







S(∆АВС) : S(АВD) = СР:DQ.

3.Отношение площадей треугольников,
имеющих равные высоты равно
отношению оснований:








S(∆АВС) : S(АВD) =AC:АD.

А

В

С

D

P

Q

А

В

С

D

P

стороны АС треугольника АВС за точку С отмечены соответственно точки

А´, С´,В´, лежащие на одной прямой, то

В

А

С

В´

А´

С´

А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Трениров.работа 10. С4) Точки В´ и С´ лежат

на сторонах соответственно АС и АВ ∆АВС, причем АВ´:В´С=АС´:С´В. Прямые ВВ´ и СС´ пересекаются в точке О. а) Доказать, что прямая АО делит пополам сторону ВС. б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´=1:2.

Докажем, что ВК=КС.
Используем теорему Чевы.

А

В

С

В´

С´

О

К

Окончил университет в Пизе. Основные его труды – работы по

геометрии и механике. Теорема, известная сегодня как теорема Чевы, была доказана им в 1678 году.
Теорема Чевы: Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки   C1,   A1 и B1 (рис.1), то отрезки  AA1,  BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство

АВС или на их продолжениях отмечены соответственно точки А´, В´,

С´. Тогда если прямые АА´, ВВ´, СС´ пересекаются в одной точке, то

А

В

С

А´

В´

С´

В´, то













S(АВО) : S(ВОС) =АВ´: В´С.

Доказательство:
Пусть АТ –высота ∆АВО, СН – высота ∆ВСО, тогда
S(АВО) : S(ВСО) = АТ: СН.
2. АТ и СН –высоты ∆АВВ´ и ∆ВСВ´.
S(∆АВВ´): S(∆ВСВ´) = АТ: СН
3. Но у ∆АВВ´ и ∆ВСВ´- общая высота из вершины В, тогда
S(∆АВВ´): S(∆ВСВ´) = АВ´:СВ´.
4. В итоге
S(АВО) : S(ВСО) = АВ´:СВ´.

А

В

С

О

В´

Т

Н

ВОС.

1. Пусть S(АОВ) = , S(АОС) =
S(ВОС)

= , тогда


2. Перемножим почленно все равенства:

А

В

С

О

А´

С´

В´

точки К, L и М соответственно, причем АК:КВ =1:2, ВL:LС

=3:4 и прямые АL, ВМ и СК пересекаются в одной точке. В каком отношении точка М делит сторону АС?

Найти АМ:МС.

Решение
По теореме Чевы







Ответ:

В

А

С

К

L

М

х

2х

3y

4y

А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Трениров.работа 10. С4) Точки В´ и С´ лежат

на сторонах соответственно АС и АВ ∆АВС, причем АВ´:В´С=АС´:С´В. Прямые ВВ´ и СС´ пересекаются в точке О. а) Доказать, что прямая АО делит пополам сторону ВС. б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´В =1:2.

Докажем, что ВК=КС.
Используем теорему Чевы.



т.к.

то ВК=КС.

А

В

С

В´

С´

О

К

А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Трениров.работа 10. С4) б) Найти отношение площади

четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´В=1:2.

Найдем

Ответ:

1. Т.к. АВ´:АС= 1:3, то

2. По теореме Менелая найдем

Для ∆АВВ´ и секущей СС´:
;

Значит =3.

3. , значит

= =

С´

х

2х

С

у

2у

3z

z

задачи. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. Вариант 15, №2) ∆АВС –

прямоугольный с прямым углом С. Биссектриса ВL и медиана СМ пересекаются в точке К. Найти отношение LК:ВК, если известно, что МК:СК=5:6.

Найти LК:ВК.

Решение
Для ∆АВL и секущей СМ


2. В ∆ВСМ ВК- биссектриса, значит
, тогда АВ = 10у

3. В ∆АВС ВL- биссектриса, значит
, тогда

4. , тогда

Ответ: 3:8.

А

В

С

L

М

К

5х

6х

5х

К

5у

6у

5у

3z

5z

курсе геометрии 7–9 классов, а лишь в 11 классе. Но

трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.
Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.
Используемая литература
Математика. ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2014г.
Пособие по геометрии. Часть І. Планиметрия, векторы. В помощь учащимся 10-11-х кл.О.В.Нагорнов, А.В.Баскаков и др.М.:НИЯУ МИФИ,2009.
Математика. Подготовка к ЕГЭ. Тематические тесты: геометрия, текстовые задачи. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2013г.
http://hijos.ru/2011/03/16/teorema-chevy/
http://www.resolventa.ru/demo/inform/demoinform.htm