Теорема Чевы и теорема Менелая и их применение

г. Ставрополя
Емец Светланы Викторовны.

на плоскости, но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты

не входят в основной курс.
Работа посвящена теоремам Чевы и Менелая. Эти теоремы позволяют легко и изящно получить решение, в то время как традиционные подходы приводят к громоздким преобразованиям.

- умер 13.12.1734, Мантуя.
Итальянский

математик. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Он написал сочинения: "De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio" (Милан, 1678); "Opuscula mathematica de potentiis obliquis, de pendulis et vasis et de fluminibus" (там же, 1682); и несколько других. Самым замечательным из них было первое. В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. Прилагаемый к вопросам, в которых рассматриваются отношения между отрезками, образованными пересекающимися линиями друг на друге, он состоит в помещении в точках пересечения тяжестей, обратно пропорциональных соответствующим отрезкам, и в последующем за тем выводе отношения между тяжестями на основании принципа рычага в статике. Достаточно назвать известное в геометрии под именем теоремы Ц. предложение о произведениях отрезков, образованных на сторонах треугольника трансверсалями, проходящими через общую точку (произведение трех отрезков, не сходящихся попарно в одной общей точке, равно произведению трех других отрезков), и на подобное же предложение об отрезках, образованных на сторонах четырехугольника плоскостью, их пересекающею, если не все вершины четырехугольника лежат в одной плоскости. Во второй части идеи и теоремы, изложенные в 1-й, прилагаются к коническим сечениям. Наконец, прибавление занимается теоремами о площадях некоторых плоских фигур и об объемах и центрах тяжести тел вращения второго порядка. Его брат, Томмазо Ч., математик (1648 — 1737), иезуит. В 1695 г. изобрел инструмент для механического деления угла на три части. Написал: "De natura gravium" (1669); "De ratione aequilibri. De sectione geometrico-harmonica et arithmetica etc." (1699); "Opuscula mathematica" (1699).

Чева Джованни

н. э.) — древнегреческий математик и астроном. Время его жизни и деятельности

определяется приведёнными в «Алмагесте» Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 г после Р. Х..
Главное сочинение Меналая — «Сферика» в трёх книгах. Его греческий оригинал утрачен, и содержание его известно по арабским, а также последующим вторичным латинским и еврейским переводам. В I книге дается определение сферического треугольника и связанных с ним понятий. В 39 предложениях этой книги речь идёт о свойствах сферических треугольников. В 21 предложении II книги рассматриваются свойства системы параллельных кругов на поверхности сферы при пересечении их разными большими кругами. Эта книга опирается на «Сферику» Феодосия. Книге III предшествуют леммы о составных отношениях, на которых строятся дальнейшие доказательства. Эта книга открывается теоремой о полном четырёхстороннике (известной также как «теорема шести величин» или «теорема о трансверсалях»). Она доказывается сначала для плоского случая, а затем переносится центральным проектированием на сферу. При этом Менелай формулирует её сферический вариант не на языке отношений синусов, как это стали делать впоследствии Ибн Ирак и другие математики стран ислама, но на языке отношений хорд.

хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга

о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака».
Менелай изучал кривые высших порядков. Особенным его вниманием, по словам Паппа, пользовалась одна кривая, которая была названа им «необыкновенной линией» (παραδοξος γραμμή). Какая это была кривая, из слов Паппа, однако же, определить нельзя. По мнению П. Таннери, она представляла собой кривую, образующуюся при пересечении сферы и кругового цилиндра, радиус которого вдвое меньше радиуса сферы, а образующая проходит через центр. Эта кривая возникает в решении задачи об удвоении куба, принадлежащем Архиту Тарентскому, а из трактата братьев Бану Муса известно, что Менелай занимался этим решением.
Менелаю принадлежала «Книга о подразделении составных тел», посвящённая определению удельных весов тел. Эту книгу цитирует ал-Хазини в своей «Книге весов мудрости».

стороне ВС треугольника АВС, точка С1 – на стороне АВ,

точка В1 на продолжении стороны АС, за точку С. Точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

АВС точка А1 лежит на стороне ВС, точка В1 на

стороне АС, точка С1 – на стороне АВ. Отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство
Отрезки прямых АА1, ВВ1, СС1 – «чевианы» названы по имени автора теоремы. Медианы, биссектрисы, высоты – примеры чевиан.
 

ABC. На стороне AD взята точка К так, что АК

: KD = = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник ABC на два. Найдите от­ношение площадей этих треуголь­ников.
Решение. Пусть AD = DC = a, KD = т; тогда АК = Зт. Пусть Р — точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо
найти отношение . Так как треугольники АВР
и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то =
По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем:


Итак, SABP : SBPC = 3 : 2.
Ответ: 3 : 2

Решение Задач по теореме Менелая

ABC взята точка К. АК = 1, КС = 3.

На стороне АВ взята точка L. AL : LB = 2:3. Q — точка пересечения прямых ВК и CL. SAQC = 1. Найдите длину высоты треугольника ABC, опущен­ной из вершины В.
Решение. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ALC. По теореме Менелая
то есть LQ = lp, QC = 5р.
1) Треугольники ALC и AQC имеют общий угол, значит,


2) Треугольники ABC и ALC имеют общую высо­ту,
проведенную из вершины С, значит,

3) .

Ответ: 1,5.

на кото­рые биссектриса большего угла этого треугольника разделана центром окруж­ности,

вписанной в тре­угольник.
Решение. Пусть в тре­угольнике ABC АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Угол ВАС
лежит против большей стороны в треугольнике ABC, значит, угол ВАС — больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пере­сечении биссектрис. Пусть О — точка пересечения биссектрис. Необходимо найти АО: OD. Так как AD —биссектриса треугольника ABC, то , то есть
BD = 5k, DC = 6k. Так как BF — биссектриса треугольника ABC, то
, то есть AF = 5т, FC = 7т.
Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC. По теореме Менелая
Ответ: 11 : 7.

Q. Найдите площадь треугольника ABC, если ,

2АС = ЗАВ, 3BC = 4AB.
Решение. Пусть АВ = а,
тогда АС = а, ВС = а.
AD — биссектриса треугольника ABC, тогда
 


то есть BD = 2р, DC = Зр.
BE — биссектриса треугольника ABC, тогда
AE=3k, ЕС = 4к.
В треугольнике ВEС прямая AD пересекает 2 стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая




то есть EQ = 9m, QB = 14m.

ВЕС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит

, тогда
 
Ответ: 115 : 16.

АВ взята точка К, делящая эту сторону в от­ношении АК

: ВК = 2 : 3, а на стороне АС — точка L, делящая АС в отношении AL : LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых СК и BL удалена от прямой АВ
на расстояние . Найдите длину стороны АВ.
Решение. 1. Треугольники ABL и ABC имеют оди­наковую высоту, проведенную из вершины В. тогда

продолжение третьей. По теореме Менелая



то есть BQ = 4p, QL

= p.
3. Треугольники КВQ и ABL имеют общий угол, значит,



Тогда

4.






Тогда
Итак, АВ=4.
Ответ: 4.

треугольника пересекаются в одной точке.
2.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
3.Высоты

треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
1. Докажите теорему: если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Доказательство:
Пусть А1, В1 и С1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того, чтобы доказать, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

обозначения:







Равенство Чевы выполняется, значит, указанные отрезки (биссектрисы треугольника) пересекаются в

одной точке. Эту точку называют точкой Жергонна. Теорема доказана.

делит каждую из них в отноше­нии 2:1, считая от вер­шины.
Доказательство.

Пусть AL1 ВL2, CL3 — медиа­ны треугольника ABC. Что­бы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AL1, ВL2 и СL3 пересекаются в одной точке. Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пере­секаются в одной точке.

две стороны треугольника АВL2 и продолжение третьей стороны этого треугольника.

По теореме Менелая


Рассматривая теорему Менелая для треугольников AL C и АL3С, мы получаем, что ,

Теорема доказана.

что
Тогда по тереме Чевы
(обратной) AL1 BL2, CL3 пересекаются в

одной точке. По свойству биссектрис треугольника:
,

Перемножая почленно полученные равенства, получаем


Итак, для биссектрис треугольника равенство
Чевы выполняется, следовательно,
они пересекаются в одной точке.
Теорема доказана.

составлении равенства Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника,

в любом направлении, а также надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением. Заканчивать необходимо в той же вершине с которой начали.
3.Утверждения и теоремы, доказанные в курсе планиметрии, можно доказать используя теорему Чевы.
4.В работе размещены задачи, которые были предложены при поступлении в ВУЗы и при проведении олимпиад. Этот материал был изложен на спецкурсе по математике, и может быть использован при подготовке к экзаменам.
 

Подготовка к тестированию. Г.Г. Мамонтова, Минск ООО «Новое знание» 2005

г.
3. Атанасян Л.С. Бутузов В.Ф.и др.Геометрия: Учеб. пособие для7-9 кл.общеобразоват. учреждений- М.: Просвещение ,1999
4. Балк М. Б. Болтянский В. Г. Геометрия масс -М.: Наука, 1987
5. Балк М. Б. Болтянский В. Г Центр тяжести облегчает решение .стр.32-41 Проложение к журналу КВАНТ №1\95
6. Всероссийские математические олимпиады школьников. -М., Просвещение ,1992
7. Глайзер Г.И. История математики в средней школе .Пособие для учителей .-М.,Просвещение,1970