Тригонометрические функции

«Д»
Руководители:
Крагель Т.П., Гремяченская Т.В..
2006

прямоугольного треугольника  
1) Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе:  sin

A = a / c .  
2) Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе:  cos A = b / c .
3) Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему:  tg A = a / b .
4) Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg A = b / a .
5) Секанс - отношение гипотенузы к прилежащему катету:  sec A = c / b .
6) Косеканс - отношение гипотенузы к противолежащему катету: cosec A =
= c / a .
Аналогично записываются формулы для другого острого угла B  

ABC  ( рис.2 ) имеет катеты:
                         a = 4,  b

= 3.
Найти синус, косинус и тангенс угла A.
 
Р е ш е н и е .  Во-первых, найдём гипотенузу, используя теорему Пифагора:
 
                         c 2 = a2 + b 2 ,
Согласно вышеприведенным формулам имеем: sin A = a / c = 4 / 5 
cos A = b / c = 3 / 5 
tg A = a / b = 4 / 3 

точные значения их тригонометрических функций. Наиболее важные случаи приведены в

таблице:

Углы 0° и 90°, не являются острыми в прямоугольном треугольнике, однако при расширении понятия тригонометрических функций эти углы также рассматриваются. Символ    в таблице означает, что абсолютное значение функции неограниченно возрастает, если угол приближается к указанному значению.

2x = cos2x - sin2x
tg 2x = 2 tg

x /(1- tg2x)
ctg 2x = ctg2x-1/(2 ctg x)

и cos простого аргумента через sin и cos кратного, например:

Формулы

для cos2x и sin2x можно использовать для нахождения значений Т. ф. половинного аргумента

x sin y
sin(x-y)= sin x cos y - cos

x sin y
cos(x+y)= cos x cos y - sin x sin y
cos(x-y)= cos x cos y + sin x sin y

приведения, которые позволяют выразить Т. ф. любого аргумента через
Т. ф.

аргумента x, что упрощает составление таблиц Т. ф. и пользование ими, а также построение графиков. Эти формулы имеют вид:

в первых трёх формулах n может быть любым целым числом, причём верхний знак соответствует значению n = 2k, а нижний - значению n = 2k + 1; в последних - n может быть только нечётным числом, причём верхний знак берётся при n = 4k + 1, а нижний при n = 4k - 1.

суммы или разности значений аргумента через Т. ф. этих значений:









знаки

в левой и правой частях всех формул согласованы, то есть верхнему (нижнему) знаку слева соответствует верхний (нижний) знак справа. Из них, в частности, получаются формулы для Т. ф. кратных аргументов, например:

с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике

и окружности, являющиеся по существу Т. ф., встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Однако эти соотношения не являются у них самостоятельным объектом исследования, так что Т. ф. как таковые ими не изучались. Т. ф. рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец 4 - 2-я половина 3 вв. до н. э.)

н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.) при решении

сферических треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30' с точностью до 10-6. Разложение Т. ф. в степенные ряды получено И. Ньютоном (1669). В современную форму теорию Т. ф. привёл Л. Эйлер (18 в.). Ему принадлежат определение Т. ф. для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией, ортогональности системы синусов и косинусов