Урок по теме "Предел последовательности"

Е.В

sin 2, sin 3,…, sin n,…
Любое число в совокупности имеет

номер
в соответствии с тем местом, которое оно
занимает и от него зависит.

Пример: n=12

а) a12=12

б) b12=-1/12

в) c12=sin 12

N
и от него зависит, называется
числовой последовательностью.

Xn ={X1,X2,…,Xn}
an={a1,a2,…,an}

если известен номер занимаемого им места.
Описание
(xn )-последовательность приближенных

значений √2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001…
√2=1,1421356…

(Xn)={1,1; 1,14; 1,142; 1,1421;…}

по его номеру
Назовите первые 5 членов последовательности (Xn)= n²

изобразим их члены точками на координатной прямой.
(уn): 1, 3, 5,

7, 9,…, 2n – 1,…;




(хn):

у

0

1

3

5

7

9

11

13

0

1

х

Обратим внимание, что члены последовательности (хn) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности (уn) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность (хn) сходится, а последовательность (уn) расходится.

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6,…1/n,..




Точка сгущения – 0
Последовательность
сходится



Чтобы узнать

является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.

– положительное число. Интервал (а - r; a + r)

называют окрестностью точки а, а число r – радиусом окрестности.


Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4, радиус равен 0,03.

х

a-r

a+r

a

называть «пределом последовательности».

Определение 2. Число b называют пределом последовательности (уn),

если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Обозначение: 1. (уn стремится к b или уn сходится к b);

2. (предел последовательности уn при стремлении n
к бесконечности равен b)

lim qn = 0, если 0 < |q| < 1

n→∞
Если q > 1, то lim qn не существует.
n→∞
3) lim С = С
n→∞
4) lim (к /nm) = 0
n→∞

по мере их ухода
вправо, все ближе и ближе подходят

к
некоторой горизонтальной прямой:
на рис 1 – к прямой у = 0,
на рис 2 – к прямой у = 0,
на рис 3 – к прямой у = 2.
Каждую из этих прямых называют
горизонтальной асимптотой графика.

горизонтальной асимптотой
графика последовательности,
т.е. графика функции

последовательность сходится ,
то она ограничена.
Обратное−неверно:1,2,3,1,2,3,…−
ограниченная последовательность,
но

она не сходится

●Теорема Вейерштрасса
Если последовательность монотонна
и ограничена, то она сходится.

отец
«современного анализа»

1815-1897 г.

Кратер на Луне

хn = b и lim уn = c , то

n→∞ n→∞
1)Предел суммы равен сумме пределов:
lim (хn+ уn) = lim хn + lim уn = b + c
n→∞ n→∞ n→∞
2)Предел произведения равен произведению пределов:
lim (хn· уn) = lim хn ∙ lim уn = b · c
n→∞ n→∞ n→∞
3)Предел частного равен частному пределов:
lim (хn : уn) = lim хn : lim уn = b : c
n→∞ n→∞ n→∞
4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim (k · хn) = k · lim хn = k ∙ b
n→∞ n→∞

дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x, т.е.

на x5.

дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x т.е.

на x4.

дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x, т.е.

на x6.





(не существует)

то предел такого вида всегда будет равен отношению коэффициентов при

старших степенях переменной.

предел такого вида равен нулю.

знаменателя, то, очевидно, все слагаемые знаменателя в пределе будут равны

нулю, это означает, что предел не существует.

= a, то ее предел равен f(a).

Пример 1. Вычислить
Решение. Подставим

вместо x число 3 (т.к. x3) и применим правила вычисления пределов.

Примеры вычисления пределов

= а не существует, в знаменателе дроби ноль, то вычисляем

значение числителя в этой точке.
1.

2.

3.

и применим правила вычисления пределов.



Примеры вычисления пределов

и применим правила вычисления пределов.



Примеры вычисления пределов

и применим правила вычисления пределов.



Примеры вычисления пределов

и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида

и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида

2.

4.

6.

7. 8.

2.

4.

6.

7. 8.