В мире квадратных уравнений

Саратовского района Саратовской области»
Руководитель: Свириденко О.В.



ГОУ ДПО СарИПКиПРО
региональный конкурс
«Математика

в моей жизни - 2009»

"В мире квадратных уравнений"

2009 г

первый взгляд кажется, что она не имеет никакого отношения к

природе, но на самом деле это не так. Без неё невозможно построить корабль и самолет, автомобили и метрополитены, даже строительство домов требует точности. Любовь к точным наукам развивает умение логически мыслить, анализировать, смотреть на вещи другими глазами и давать точное определение.

Введение

Я согласна с высказыванием английского физиолога Андру Филлинг Хаксли «Математика похожа на мельницу: если вы засыпете в нее зерна пшеницы, то получите муку, если же засыпете отруби, отруби и получите», поэтому я пытаюсь с большим старанием и желанием учить алгебру, геометрию и физику. Но больше всего я люблю решать квадратные уравнения. Знания в этой области мне даются легко.

историей возникновения квадратных уравнений
повторить теорему Виета и её доказательство
узнать

и понять незнакомые решения квадратных уравнений

стремятся сделать истинным, не будучи уверенными, что этого можно достичь.»

Фуше А.

«Процесс " решения" уравнения есть просто акт приведения его к возможно более простой форме. В какой бы форме уравнение ни было написано, его информационный характер остается тот же.»
Лодж О.

в древние времена. Они излагаются, например, в вавилонских рукописях времен

царя Хаммурапи (XX в. до н. э.), в трудах древнегреческого математика Евклида   (III в. до н. э.), древних китайских и японских трактатах.

Заметки прошлого

Многие математики древности решали квадратные уравнения геометрическим способом. Например, для решения уравнения x2 + 10x = 39 поступали следующим образом. Пусть АВ = х, ВС = 5 (= 10 : 2). На стороне АС = АВ + ВС строился квадрат, который разбивался на четыре части, как показано на рисунке 92. Очевидно, что сумма площадей I, II и III   частей  равна  
x2 + 10x,  или  39.

Если к этой площади прибавить площадь IV части, то в результате получится 64 — площадь всего квадрата. Но эта же площадь равна (х + 5)2, так как АС = х + 5. Следовательно,

(х + 5)2 = 64

х + 5 = 8,

х = 3.

«Найти площадь прямоугольного поля, если площадь 12, а 3/4длины равны

ширине.»

Древний Египет

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики древнего Египта.

Прошли тысячелетия, и сейчас мы получим два решения уравнения: -4 и 4.Но в египетской задаче и мы приняли бы х=4,т.к. длина поля может быть только положительной величиной.

Харезми - великий мусульманский математик, астроном и географ, основатель классической

алгебры) в Европе были впервые изложены в "Книге абака", написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи(Пизанский около 1170 — около 1250г. – первый крупный математик средневековой Европы. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Лист из книги абака

Леонардо Фибоначчи

+ bx = c
при возможных комбинациях знаков коэффициентов b ,

c , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем
(около 1487 — 19 апреля 1567) — немецкий математик .

- действительные числа, причем a не равно 0. Если a

= 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a не равно 1, - то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.

Основные понятия

и его коэффициентами, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые

в 1591 году так: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.

«Виет (1540-1603) сделал решающий шаг, введя символику во все алгебраические доказательства путем применения буквенных обозначений для выражения как известных, так и неизвестных величин не только в алгебре, но также и в тригонометрии.»
Бернал Д.

Четыре года опалы оказались чрезвычайно плодотворными для Виета. Математика стала его единственной страстью, он работал самозабвенно. Мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд, только иногда забываясь сном на несколько минут. Именно тогда он начал большой труд, который назвал "Искусство анализа или Новая алгебра".Книгу завершить не удалось, но главное было написано. И это главное определило развитие всей математики Нового времени.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел, поэтому при решении уравнений рассматривал только положительные корни.

трехчлена x2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения:
x1 + x2 = –p
x1 x2 = q
Для

доказательства подставим каждый из корней в выражение для квадратного трехчлена. Получим два верных числовых равенства:
x12 + px1 + q = 0
x22 + px2 + q = 0

Вычтем эти равенства друг из друга. Получим
x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0

Разложим разность квадратов и одновременно перенесем второе слагаемое в правую часть:
(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

x1 – x2 не равна  0 и мы можем сократить равенство на x1 – x2.

Получим первое равенство теоремы:
x1 + x2 = –p

Для доказательства второго подставим в одно из написанных выше равенств (например, в первое) вместо коэффициента p, равное ему число – (x1 + x2):
x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

Преобразуя левую часть, получаем:
x12 – x12 – x2 x1 + q = 0
x1 x2 = q, что и требовалось доказать.

уравнений
?
?
?

нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с

= 0 с помощью циркуля и линейки
(рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось
абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения
ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки
А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

окружности) и A(0; 1);
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы

точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра

этом случае уравнение не имеет решения.

(рис. 7).
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
Проведем

окружность радиуса SA, где А (0; 1).
Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.

= 0.

Криволинейная шкала номограммы построена
по формулам (рис.11):


Полагая ОС =

р, ED = q, ОЕ = а
Из подобия треугольников САН и CDF
получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение
z2 + pz + q = 0

0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 =

1,0 (рис.12).
2) Решим с помощью номограммы уравнение
2z2 - 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,
получим уравнение
z2 - 4,5z + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.
3) Для уравнения
z2 - 25z + 66 = 0
коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t,
получим уравнение
t2 - 5t + 2,64 = 0,
которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и
t2 = 4,4, откуда
z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов
(6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя
х2 + 10х числом 39, получим, что
S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок
АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

16.
На рис. 17 находим «изображения» выражения

у2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у2 - 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у - 3. Заменяя выражение у2 - 6у равным ему числом 16,
получаем: (у - 3)2 = 16 + 9, т.е.
у - 3 = ± √25, или у - 3 = ± 5, где
у1 = 8 и у2 = - 2.

2.Решить геометрически уравнение у2 - 6у - 16 = 0.

квадратных уравнений, повторила теорему Виета и её доказательство.
Узнала

интересные способы решения квадратных уравнений.
Я уверена, что математические знания, в частности по данной теме, помогут мне при поступлении в ВУз.