Связь математики и музыки

Екатерина, Ергашова Анастасия, Видинеева Дарья
Руководитель: Акулова Анна Сергеевна
Цель проекта:

1) Расширить свои познания о взаимосвязи музыки и
математики
2) Найти и узнать новые исследования Пифагора в музыке
3) Рассмотреть применение математики в музыке
Гипотеза: «Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет,
сама того не сознавая… »
Краткое содержание работы: 1) Открытия Пифагора в музыке
2) Монохорд
3) Логарифмы и музыка
4) Звуковые соотношения
5) Терминология
6) Рациональность и аффект

Аннотация к проекту

первую лиру, натянув струны на панцирь черепахи. Если древние китайцы,

индусы, персы, египтяне, израильтяне и греки использовали вокальную и инструментальную музыку в своих религиозных церемониях как дополнение к поэзии и драме, то Пифагор поднял искусство до истинно достойного состояния, продемонстрировав его математические основания

диатонической шкалы. Получив основные сведения о священной теории музыки от

жрецов различных мистерий, Пифагор провел несколько лет в размышлениях над законами, управляющими созвучием и диссонансом

было следующее объяснение:
Однажды, Пифагор проходил мимо мастерской

медника, который склонился над наковальней с куском металла. Заметив различие в тонах между звуками, издаваемыми различными молоточками и другими инструментами при ударе о металл, и тщательно оценив гармонии и дисгармонии, Пифагор получил первый ключ к понятию музыкального интервала в диатонической шкале

фунтов, ко второй — в девять, к третьей — в

восемь и к четвертой — в шесть фунтов. Эти различные веса соответствовали весу молотков медника

Он вошел в мастерскую и после тщательного осмотра инструментов и оценки в уме их веca вернулся в собственный дом, сконструировал балку, и приделал к ней через равные интервалы четыре струны, во всем одинаковые

на верхней стороне которого натянуты две струны. Одна из струн

служит только для сравнения тонов, и напряженность ее регулируется посредством колка. Вторая же струна только одним своим концом неподвижно прикреплена к монохорду, другой же перекидывается через блок и натягивается гирею

связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и

музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека, и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства

Г. Нейгауз.

таких слов, как интервал, гамма, музыкальный строй. В таком случае

возникает вопрос: кто же стоял у истоков построения мажора и минора, аккордов и интервалов? А у истоков стоял не кто иной, как великий математик Пифагор. Его открытие в области теории музыки послужило базой для развития математических пропорций в музыке

Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью

которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны

построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие

части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, геометрическим, гармоническим

и октавой. Суть этого метода состоит в том, что от

исходящего звука, например «до» (3/2)0=1, мы движемся по квинтам вверх и вниз и полученные звуки собираем в одну октаву. И тогда получаем:
(3/2)1 =3/2 – соль,
(3/2)2 /2 =9/8 – ре,
(3/2)3 /2 =27/16 – ля,
(3/2)4 /4 =81/64 – ми,
(3/2)5 /4 =243/128 – си,
(3/2)–1 /2 =4/3 – фа.

мира владела умами ученых и в последующие эпохи.В первой половине

девятнадцатого века И. Кеплер установил 7 основных гармонических интервалов:
2/1 – октаву,
5/3 – большую сексту,
8/5 – малую сексту,
3/2 – чистую квинту,
4/3 – чистую кварту,
5/4 – большую терцию,
6/5 – малую терцию

так и минорного наклонения. После долгих поисков гармоничных отношений на

«небе», проделав огромную вычислительную работу, Кеплер установил, что отношения экстремальных углов скоростей для некоторых планет близки к гармоническим:
3/2 – Марс,
6/5 – Юпитер,
5/4 – Сатурн.

года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от

совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы… Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей.
С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от лат. - соразмерность)

части. Для её построения, оказывается, гораздо удобнее пользоваться логарифмами соответствующих

частот: log2w0, log2w1… log2wm. Октава при этом перейдет в промежуток от log2w0 до log2 2w0 = log2w0 1, т. е. в промежуток длиной 1

примеров народной музыки, который показал, что в ней чаще всего

встречаются интервалы, выражаемые с помощью отношений частот:
2/1 – октава,
3/2 – квинта,
5/4 – терция,
4/3 – кварта,
5/3 – секста,
9/8 – секунда,
15/8 – септима.
Эти и другие выводы показали, что музыкальная шкала должна быть разделена на 12 частей

тесно переплетаются судьбы музыки и математики. Рождение нового музыкального строя

не могло произойти без изобретения логарифмов и развития алгебры иррациональных величин. Без знания логарифмов провести расчеты равномерно-темперированного строя было бы невозможно. Логарифмы стали своеобразной «алгеброй гармонии», на которой выросла темперация

Обычно цель при встрече с ними – отгадать следующее число

или символ (поскольку последовательность в математике – упорядоченный ряд символов). Суть – найти закон, которому подчиняется данная последовательность. Например:
991, 19, 10, 1, 1, 1…
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

с понятием прогрессия нередко можно встретиться и в жизни)

квинтовый круг
Квинтовый круг представляет собой логику создания любой тональности.

(Для того, чтобы записать музыку в какой-либо тональности, необходимо знать ее тонику и знаки при ключе. Квинтовый круг реализует данные условия)

Моцарта, Л. В. Бетховена, что позволяет увидеть новую грань гениальности

композиторов. Тот факт, что такая же прогрессия встречается и в современной русской и зарубежной музыке (практически во всех стилях), не наталкивает на мысль о гениальности, поскольку, проанализировав более 25 самых популярных на сегодняшний день мелодий, можно обнаружить не только прогрессии с разностью в квинту, но и в малую секунду, большую секунду, малую терцию, большую терцию и даже просто списанные друг с друга последовательности аккордов

может быть известно человеку совершенно из других источников. Музыкальный ритм

дается как пример, а не как определение. Таким образом, «ритм» можно назвать «интернациональным» в области науки и искусства

последовательности, часто можно обнаружить ритмичность. В частности, «простейшими» примерами математических

ритмов являются периодические дроби

Она бы просто рассыпалась, так и не закончив ни одной

музыкальной фразы

можно говорить об эволюции понимания термина музыка. Абстрактным было понимание

музыки в духе Пифагора и Платона, поскольку оно подразумевало именно математическое описание

давно. Встречаются они и в средние века. По Декарту способность

органов чувств испытывать удовольствие относится к предпосылкам, которые теория музыки должна взять за основу. Она должна учитывать, что форма может быть трудной и разнообразной в той мере, в какой это отвечает естественным желаниям органов чувств

разработанную им математическую систему музыкальной композиции в виде отдельной книжечки

под названием «Калейдофон». Считают, что Дж. Гершвин, работая над оперой «Порги и Бесс», пользовался той же системой. В 1940 году Эйгор Вилли Лобос, используя описанный способ, превратил силуэт Нью-Йорка в пьесу для фортепиано

музыки. Таким образом, математики и музыканты могли осуществлять связь миров:

опосредованного, материального и духовного, чувственного.
О взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы. Безусловно, в данной работе была освещена лишь небольшая часть того неизведанного огромного мира связи музыки и математики, но мы будем разрабатывать и дополнять наш проект

с открытием диатонической шкалы Пифагором
3) Узнали о гениальном решении
А.Веркмайстера

4) Рассмотрели связь логарифмов и музыки