Комбинаторика. Решение комбинаторных задач

познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни.

И.Л. Лобачевский

Эпиграф

Алины и Поповой Карины.
Научный руководитель: Китаева И.В.

некоторых комбинаторных задач
Что изучает комбинаторика?
Основные понятия и некоторые формулы
Задачи
Дерево вероятности
Применение

комбинаторных задач в жизни.

можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только

порядком их расположения. Число всех возможных перестановок
Pn = n! где n! = 1 * 2 * 3 ... n.

элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число

всех возможных размещений
Amn = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1).

элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

С mn = n! / (m! (n - m)!)
Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством
Amn = PmC mn.

м м ы. Если некоторый объект А может быть выбран

из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.
П р а в и л о   п р о и з в е д е н и я. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность

того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.
Р е ш е н и е. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A),
Р (А) = 3 / 10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность
РA (В) = 7 / 9. По теореме умножения, искомая вероятность
Р (АВ) = Р (А) РA (В) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7 / 30. Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р (В) = 7 / 10, РB (А) = 3 / 9, Р (В) РB (А) = 7 / 30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства (***).

5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что

извлеченная деталь окажется окрашенной. Отв. р = 0,1.
2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков. Отв. р = 0,5.
3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5. Отв. р = 0,81.
4. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных "в одну линию" кубиков можно будет прочесть слово "спорт". 0тв. р = 1 / 120.
5. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных "в одну линию" карточках можно будет прочесть слово "трос". Отв. p = 1 / A46 = 1 / 360.

и белый). Сколько возможных вариантов флагов без повтора цвета можно

создать из данных цветов?
Ответ: 6 флагов.

школьников
Дерево производственных показателей