§ 4 СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

задания сферического движения
достаточно задать три параметра:

координат Oxyz – подвижная,
связанная с движущимся телом, имеют
общее начало

координат – О.
ОК – линия узлов

Положение подвижной системы координат относительно неподвижной
системы координат при заданных углах Эйлера можно получить с помощью
трех последовательных независимых поворотов тела: 1) на угол ψ вокруг
оси Oz1, 2) на угол θ вокруг линии узлов ОК, 3) на угол φ вокруг оси Oz.

точки можно
рассматривать как непрерывную последовательность
элементарных перемещений, каждое из которых в

силу
теоремы Эйлера-Даламбера можно осуществить одним
только поворотом на бесконечно малый угол вокруг
некоторой оси, проходящей через неподвижную точку –
мгновенной оси вращения.
Таким образом, сферическое движение твердого тела
можно рассматривать как непрерывную последовательность
бесконечно малых поворотов тела вокруг мгновенных
осей вращения, проходящих через неподвижную точку.

Геометрическое место мгновенных осей вращения тела в
пространстве, связанном с неподвижной системой отсчета,
образует коническую поверхность – НЕПОДВИЖНЫЙ АКСОИД, а в подвижном пространстве, связанном с движущимся телом - коническую поверхность – ПОДВИЖНЫЙ АКСОИД. Неподвижная точка О при этом является общей
вершиной для неподвижного и подвижного аксоидов, а их общая образующая – мгновенной осью вращения тела.

вокруг неподвижной точки геометрически можно
интерпретировать как качение без проскальзывания подвижного

аксоида
по неподвижному аксоиду.

1- неподвижный аксоид , 2 – подвижный аксоид.

Мгновенной угловой скоростью твердого тела, совершающего сферическое движение, называют

скорость поворота тела вокруг мгновенной оси вращения.

твердого тела, совершающего сферическое движение, в каждый
момент времени определяются как

скорости во вращении этих точек вокруг
мгновенной оси вращения тела ОΩ. При этом скорости точек тела, лежащих на мгновенной оси вращения равны нулю.

одного положения в другое можно
осуществить с помощью только двух переме-
щений:

поступательного перемещения вместе
с некоторой точкой – полюсом и поворота тела
вокруг определенной оси, проходящей через
полюс (сферического движения вокруг полюса)

О ;
скорость точки М
в сферическом
движении вокруг
полюса О.
Следствия.
1) Проекции векторов

скоростей точек свободного твердого тела на прямую, соединяющую эти точки
равны (см. теорема Грасгофа);
2) Концы векторов скоростей точек свободного твердого тела, лежащих на одном, отрезке лежат на одной
прямой и делят ее в том же отношении, в каком сами точки делят отрезок;
3) Скорости точек свободного тела, лежащих на прямой, параллельной мгновенной оси вращения тела,
геометрически равны.

скорости точки свободного твердого тела:
ускорение точки М относительно оси мгновенного

углового ускорения ОЕ;

точки М относительно мгновенной оси вращения ОΩ;