записать в следующем виде
Совокупность коэффициентов , i =1,2,3,…,n;
j=1,2,3,….,m системы можно представить в виде матрицы:
можно представить в виде матрицы:
- в виде вектора
подстановка которого в систему, обращает каждое уравнение этой системы в тождество.
Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая бесчисленное множество решений, называется неопределенной.
Очевидно, что однородная система всегда совместна, так как имеет хотя бы одно
решение , которое называется тривиальным.
СЛАУ называется:
Точные методы
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса
Метод Гаусса включает два этапа.
Второй этап (обратный ход) заключается в последовательном вычислении искомых неизвестных и состоит из n шагов. Решая последнее уравнение, находим неизвестное xn. Далее используя это значение из предыдущего уравнения вычисляем неизвестное xn-1 и т.д. Последним найдем неизвестное x1 из первого уравнения.
Матрица, содержащая помимо. коэффициентов при неизвестных
столбец свободных членов , называется расширенной
. Задаем номер ведущей строки k = 1
Преобразуем все строки, расположенные ниже k-ой так, чтобы элементы cik=0,
для этого вычисляем множитель β=-сi,k/ck,k и каждую i-ую строку заменяем суммой i–ой и k-ой умноженной на β, т.е. ci,j=ci,j+β*ck,j где i = k+1,k+2,k+3,….,n и j = k,k+1,k+2,…,n+1
Проверяем k = n-1 если нет, то выбираем новую ведущую строку k=k+1 и переходим на пункт 2, иначе выполняем пункт 4.
Обратный ход. Из последнего n-ого уравнения определяем последнее n-ое неизвестное. xn=cn,n+1/cn,n Последовательно, из предыдущих уравнений начиная с i=n-1, вычисляем соответствующие неизвестные xi. Последним, определяется первое неизвестное из первого уравнение.
i=2 – складываем 2ую строку с 1ой умноженной на β=-c21/c11=-2/4=-0.5
i=3 – складываем 3ую строку с 2ой умноженной на β=-c32/c22=-0.5/5=-0.1
k=2
k=1
Строка, содержащая этот элемент, переставляется с k-й строкой расширенной матрицы.
При полном выборе в качестве «ведущего» элемента выбирается максимальный по модулю элемент из всей неприведённой части матрицы коэффициентов системы:
Для этого осуществляется необходимая перестановка как строк, так и столбцов в расширенной матрице коэффициентов. При этом следует помнить, что перестановка столбцов равносильна переименованию неизвестных.
Исходную систему уравнений
с учетом погрешности в векторе
.
или
и тогда
отсюда можно выразить ошибку
Абсолютная погрешность определим, как норму ошибки
или
Определим
Определим относительную погрешность
Запишем как
Тогда итерационную формулу запишем в виде:
если условие не выполняется, то преобразуем исходную систему и выполняем 1-й этап.
Третий этап. Осуществляем уточнение решения по полученной итерационной формуле.
За начальное приближение принимается
Условием окончания итерационного процесса является выполнение условия
– смежные приближения к решению.
На втором шаге преобразования к=2 наибольший по абсолютной величине элемент во втором столбце (6.2) расположен в третьей строке матрицы, поэтому меняем вторую и третью строки и производим необходимые преобразования.
Второй этап. Вычисляем неизвестные.
ответ
Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:
Email: Нажмите что бы посмотреть