Разделы презентаций


VM-03.ppt

Содержание

Используя выше приведенные определения, запишем СЛАУ в матричном виде:Решить СЛАУ значить найти такие значения вектораСовокупность неизвестных - в виде вектораСовокупность неизвестных - в виде вектораподстановка которого в систему, обращает каждое уравнение

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
В общем виде СЛАУ можно

записать в следующем виде
Совокупность коэффициентов , i =1,2,3,…,n;

j=1,2,3,….,m системы

можно представить в виде матрицы:

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В общем виде СЛАУ можно записать в следующем видеСовокупность коэффициентов

Слайд 2Используя выше приведенные определения, запишем СЛАУ в матричном виде:
Решить СЛАУ

значить найти такие значения вектора
Совокупность неизвестных
- в виде вектора
Совокупность

неизвестных

- в виде вектора

подстановка которого в систему, обращает каждое уравнение этой системы в тождество.

Используя выше приведенные определения, запишем СЛАУ в матричном виде:Решить СЛАУ значить найти такие значения вектораСовокупность неизвестных -

Слайд 3Переобусловленной, если n>m
Классификация СЛАУ
Недообусловленой, если n

если вектор
Если система, имеет хотя бы одно решение, она называется

совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая бесчисленное множество решений, называется неопределенной.

Очевидно, что однородная система всегда совместна, так как имеет хотя бы одно
решение , которое называется тривиальным.

СЛАУ называется:

Переобусловленной, если n>mКлассификация СЛАУНедообусловленой, если n

Слайд 4Методы решения СЛАУ
Все методы решения СЛАУ можно разделить на две

группы: точные и итерационные.
Точные методы позволяют получить решение путем выполнения

определённого и точного количества арифметических операций. При этом погрешность решения определяется лишь точностью представления исходных данных и точностью вычислительных операций. Итерационные методы дают некоторую последовательность приближений к решению. Пределом этой последовательности является решение системы уравнений. Решение, возможно, определить лишь с некоторой, как правило, заданной степенью точности ε. Количество итераций для достижения требуемой точности решения определяется величиной ε, выбором начального приближения и видом системы уравнений.

Точные методы

Метод обратной матрицы

Метод Гаусса

Метод Гаусса включает два этапа.

Методы решения СЛАУВсе методы решения СЛАУ можно разделить на две группы: точные и итерационные.Точные методы позволяют получить

Слайд 5Первый этап (прямой ход) заключается в последовательном исключении неизвестных из

системы уравнений и состоит из n–1 шага. На первом шаге

с помощью первого уравнения исключается x1 из всех последующих уравнений начиная со второго, на втором шаге с помощью второго уравнения исключается x2 из последующих уравнений начиная с третьего и т.д. Последним исключается xn-1 из последнего n-го уравнения так, что последнее уравнение будет содержать только одно неизвестное xn. Такое последовательное исключение неизвестных равносильно приведению матрицы коэффициентов к треугольному виду. Строка, с помощью которой исключаются неизвестные, называется ведущей строкой, а диагональный элемент в этой строке – ведущим элементом.

Второй этап (обратный ход) заключается в последовательном вычислении искомых неизвестных и состоит из n шагов. Решая последнее уравнение, находим неизвестное xn. Далее используя это значение из предыдущего уравнения вычисляем неизвестное xn-1 и т.д. Последним найдем неизвестное x1 из первого уравнения.

Матрица, содержащая помимо. коэффициентов при неизвестных столбец свободных членов , называется расширенной

Первый этап (прямой ход) заключается в последовательном исключении неизвестных из системы уравнений и состоит из n–1 шага.

Слайд 6Алгоритм.
Строим расширенную матрицу размерностью n на n+1,

приписав, справа к матрицы
вектор
т.е. ci,j=ai,j , ci,n+1=bi

, где i=1,2,3,…,n j=1,2,3,…,n

. Задаем номер ведущей строки k = 1

Преобразуем все строки, расположенные ниже k-ой так, чтобы элементы cik=0, для этого вычисляем множитель β=-сi,k/ck,k и каждую i-ую строку заменяем суммой i–ой и k-ой умноженной на β, т.е. ci,j=ci,j+β*ck,j где i = k+1,k+2,k+3,….,n и j = k,k+1,k+2,…,n+1

Проверяем k = n-1 если нет, то выбираем новую ведущую строку k=k+1 и переходим на пункт 2, иначе выполняем пункт 4.

Обратный ход. Из последнего n-ого уравнения определяем последнее n-ое неизвестное. xn=cn,n+1/cn,n Последовательно, из предыдущих уравнений начиная с i=n-1, вычисляем соответствующие неизвестные xi. Последним, определяется первое неизвестное из первого уравнение.

Алгоритм. Строим расширенную матрицу   размерностью n на n+1, приписав, справа к матрицы вектор т.е. ci,j=ai,j

Слайд 7Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса.
Первый этап. Строим расширенную матрицу и

преобразуем её к ступенчатому виду.
i=3 – складываем 3ую строку с

1ой умноженной на β=-c31/c11=-2/4=-0.5

i=2 – складываем 2ую строку с 1ой умноженной на β=-c21/c11=-2/4=-0.5

i=3 – складываем 3ую строку с 2ой умноженной на β=-c32/c22=-0.5/5=-0.1

k=2

k=1

Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса.Первый этап. Строим расширенную матрицу и преобразуем её к ступенчатому виду.i=3 – складываем

Слайд 8Второй этап. Вычисляем неизвестные

Второй этап. Вычисляем неизвестные

Слайд 9Для уменьшения погрешности вычислений используют модификации метода Гаусса, которые определяются

выбора«ведущего» элемента. В модификации с частичным выбором на каждом k-м

шаге прямого хода в качестве «ведущего» выбирается наибольший по модулю элемент из неприведённой части k-го столбца матрицы, т.е.

Строка, содержащая этот элемент, переставляется с k-й строкой расширенной матрицы.

При полном выборе в качестве «ведущего» элемента выбирается максимальный по модулю элемент из всей неприведённой части матрицы коэффициентов системы:

Для этого осуществляется необходимая перестановка как строк, так и столбцов в расширенной матрице коэффициентов. При этом следует помнить, что перестановка столбцов равносильна переименованию неизвестных.

Для уменьшения погрешности вычислений используют модификации метода Гаусса, которые определяются выбора«ведущего» элемента. В модификации с частичным выбором

Слайд 10Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений.
Если система плохо обусловлена, то это

значит, что погрешности коэффициентов матрицы и свободных членов или погрешность

округления при расчетах могут сильно исказить решение.

Исходную систему уравнений

с учетом погрешности в векторе

.

или

и тогда

отсюда можно выразить ошибку

Абсолютная погрешность определим, как норму ошибки

или

Определим

Определим относительную погрешность

Запишем как

Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений.Если система плохо обусловлена, то это значит, что погрешности коэффициентов матрицы и свободных

Слайд 11из исходной системы
получим
далее определим
и подставим в определение

относительной погрешности получим
Вводим понятие числа обусловленности:
и тогда

из исходной системы получим далее определим и подставим в определение относительной погрешности получим Вводим понятие числа обусловленности:и

Слайд 12Метод простых итераций
Алгоритм метода состоит из трёх этапов.
Первый этап. Приведение

СЛАУ к итерационному виду, для этого разрешим каждое уравнение относительно

соответствующего неизвестного:

Тогда итерационную формулу запишем в виде:

Метод простых итерацийАлгоритм метода состоит из трёх этапов.Первый этап. Приведение СЛАУ к итерационному виду, для этого разрешим

Слайд 13где величина ε определяет точность получаемого решения
где вектор

– приведенный столбец свободных членов, матрица
– приведенная матрица коэффициентов.
Второй

этап. Проверяем условие сходимости

если условие не выполняется, то преобразуем исходную систему и выполняем 1-й этап.

Третий этап. Осуществляем уточнение решения по полученной итерационной формуле.

За начальное приближение принимается

Условием окончания итерационного процесса является выполнение условия



– смежные приближения к решению.

где величина ε определяет точность получаемого решения где вектор – приведенный столбец свободных членов, матрица – приведенная

Слайд 14Пример. Решить СЛАУ методом простых итераций ε=0.4
Преобразуем исходную систему к

итерационному виду.

Пример. Решить СЛАУ методом простых итераций ε=0.4Преобразуем исходную систему к итерационному виду.

Слайд 15Ответ:

Ответ:

Слайд 16Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса с частичным выбором.
Первый этап. Строим

расширенную матрицу и преобразуем её к ступенчатому виду.
На первом шаге

преобразования к=1 наибольший по абсолютной величине элемент в первом столбце (5) расположен в третьей строке матрицы, поэтому меняем первую и третью строки и производим необходимые преобразования.

На втором шаге преобразования к=2 наибольший по абсолютной величине элемент во втором столбце (6.2) расположен в третьей строке матрицы, поэтому меняем вторую и третью строки и производим необходимые преобразования.


Второй этап. Вычисляем неизвестные.

ответ

Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса с частичным выбором.Первый этап. Строим расширенную матрицу и преобразуем её к ступенчатому

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика