МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ и АНАЛИЗ ИЗОБРАЖЕНИЙ

СПОСОБЫ - эвристики, эксперименты
НАУКА

МЕТОДЫ - математические модели
- формализованные критерии
- решения, обладающие доказанными свойствами
- оптимальность
МАШИННОЕ ЗРЕНИЕ - весь комплекс проблем, связанных с
получением пространственой инфорамции,
включая сенсоры, вычислители и алгоритмы
КОМПЬЮТЕРНОЕ ЗРЕНИЕ - математические и
алгоритмические аспекты машинного зрения
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЗРЕНИЕ

ФОТОГРАММЕТРИЯ МОРФОЛОГИЯ
(геометрия простр.распред. данных) (модели данных и процедур)

анализа изображений, основанные на содержательных яркостно-геометрических моделях и критериях.
Источники: Морфология

Серра, Морфология Пытьева.
Обобщение 1: Морфологический анализ – схема анализа данных, которая в качестве обязательного этапа предполагает обоснованное (в некотором смысле оптимальное) построение модельного описания гипотетического (скрытого) прообраза наблюдаемых данных (сегментация + реконструкция).
Обобщение 2: "Морфология" или "морфологическая система"- это такой формализм анализа данных (изображений), в котором любые образы (изображения) рассматриваются как элементы некоторого пространства (алгебры), любые задачи формулируются в терминах этого пространства, и операции осуществляются над элементами этого пространства (целыми изображениями), а не над отдельными пикселями.

ε: ϑ → Λ
Морфологическая реконструкция

δ: Λ → ϑ
Морфологический фильтр ϕεδ(E)=δ(ε(E)): ϑ→Λ→ϑ

71


f(x)


a4 x4+a3 x3+a2 x2+a1 x+a0
Естественный
изоморфизм
Позиционные системы счисления
Разложение на простые

множители

Аппроксимация полиномами

сравнения изображений по форме:
Выделить связные области на изображении A.
Вычислить среднюю

яркость по областям A на B.
Сформировать C по форме A с яркостями из B.
Найти разность С и B.

A

B

B

C

форма A и С

форма

яркость

(реконструкция B)

координатами (x, y) (функция изображения)
с1,…, с4 – яркости областей A1,…,

A4 фона и граней куба

X

Модель изображения - кусочно-постоянная функция

X – поле зрения

поле Х
Форма изображения V(f) в виде множества
- интеграл яркостей по

области Ai

Проекция вектора g на плоскость V(f)

Определение коэффициентов ci*

Дифференцируя по ci, получим решение задачи в виде

- площадь области Ai

km
Нормированный
коэфициент корреляции
Морфологический
коэффициент корреляции:
0 ≤ km ≤ 1
Km не зависит от

Морфологический проектор преобразования яркости F(f(x,y)).

Сравнение форм:

Описание формы

>

деталей




MIN
эрозия
MAX
дилатация
MIN
эрозия
MAX
дилатация
реконструкция A
A

Исходный образ

Трансляция

Opening (открытие)

Closing (закрытие)

XoB = ∪{Bz | Bz ⊆ X}

y=a=z}.
Сложение Минковского (дилатация):
A⊕B = {a=b| a∈A, b∈B} =
= U{Ba} =

U{Ab}
Вычитание Минковского (эрозия):
AB = {z| Bz ⊆ A} = U{Az}

Оператор, сохраняющий включение: X⊆Y ⇒ Ψ(X) ⊆ Ψ(Y)
Экстенсивный оператор: Ψ(X)⊇X Антиэкстенсивный оператор: Ψ(X)⊆X
Усиливающий оператор (Ψ(Ψ(X))⊇Ψ(X))
Ослабляющий оператор (Ψ(Ψ(X))⊆Ψ(X))

Проективный оператор (Ψ(Ψ(X))=Ψ(X))

Морфологическими фильтрами Серра
называется множество операторов, являющихся одновременно проективными и сохраняющими включение.

Открытие X по B:
XoB = (XB)⊕B = U{Bz| Bz ⊆ X}.

Закрытие X по B:
X∙B = (X⊕B)B

замкнутая область плоскости, ограниченная конечным числом неперсекающихся жордановых кривых.
Пусть

P – евклидова плоскость, D(p,r) – открытый круг радиуса r с центром в точке p.
Пустым или вписанным кругом фигуры A называется круг D(p,r)⊆A. Максимальным пустым кругом называется пустой круг, который не содержится целиком ни в одном другом пустом круге данной фигуры. Скелетом S(A) фигуры A называется множество центров всех ее максимальных пустых кругов.
Радиальной или дистанционной функцией rA(p) точки p∈P для фигуры A называется максимальная величина радиуса пустого круга с центром в данной точке.

S(A)

виду, соответствующему заданному классу структур.
Алгебраический проектор:
F(X)=F(F(X))
Геометрическая интерпретация:
Два способа описания класса:

Проектор

– оператор, ставящий в соответствие любому образу образ из модельного множества.

Модель (модельное множество) – множество стабильных элементов проектора.

сложность:
Если одно модельное множество целиком принадлежит другому,
то соответствующая форма

изображения не сложнее (проще).

>

>

Морфология Пытьева

Морфология Серра

∪

>

>

∪

∪

Структурная сложность:
Чем больше элементов в модели, тем сложнее описание.

∂r
монотонное убывание сложности

на размер объекта
X
rB
X◦rB
XrB

S(X◦B) – площадь открытия образа Х элементом B
Формальное определение морфологического

спектра

Maragos P. Pattern Spectrum, Multiscale Shape Representation. IEEE Trans.on pattern analysis, machine intelligence, Vol, II, No 7, July 1989.

и пиковые составляющие формы фигуры (Визильтер, Сидякин, 2010)

2010)

комбинирования разных операторов сегментации с разными операторами реконструкции.

Пример: селективные морфологии

на базе операторов ММ Серра

(a)
Object’⊆Object, if E(Object)=∅ (b)
Object, if ∃Im:O(Im)=Object

(c)

∅, if E(Object) = ∅ (a)

Object, if E(Object) ≠ ∅ (b)

SO(Object)=

Стандартная ММ

Селективная ММ

Открытие SM

Эрозия MM

ε

δ

δ′

точек)

- C ||



Морфология Серра:
AoB = argminC∈M(B) {|| A - С

||: C⊆A}
или
AoB = argmaxC∈M(B) {||С ||: C⊆A}

M

A

C∈M

|| A - C ||

B

A

AoB

B∈M

ϑ×ϑ→[0,1]
Критериальный морфологический фильтр ϕФ на базе (ε,δ):
εФ(E)=λ, ϕФ(E)=δ(λ): Ф(E,λ)=K(E,δ(λ))×M(λ)→max(λ∈Λ)
ℑ(ℜ)={ϑ,Λ,δ,K,M}⇔ℑ′(ℜ)={ϑ,Λ,εФ,δ} –

ℑ-морфология.
Проективные критериальные морфологии: ϕФ(E)=ϕФ(ϕФ(E)).

Морфологический подход к анализу данных

cФ(E)=H:
Ф(E,λ,H)=K(E,δ(λ))×M(λ,H)×M(H)→max(λ∈Λ,H∈Θ)
4. Обнаружение/локализация επФ(E)=λ:
Параметрическая выборка π(E,λ): ϑ×Λ→ϑ,
Фπ(E,λ,H)=K(π(E,λ),δ(λ))×M(λ,H)×M(H)→max(λ∈Λ,H∈Θ)
селективный морфологический фильтр
ϕπ(E)=π(E,επФ(E)): ϑ×Λ→ϑ.
Вывод: морфологический

подход позволяет единым унифицированным способом решать все основные задачи обработки и анализа данных.

Морфологический подход к анализу данных

логические модели: [0,1] → {0,1}.
Морфологическая проекция на модельное множество:
ψ(A,M): K(A,L)→max(L∈M),

M = {B∈Ω: M(B)=1}.
Теоретико-информационные критерии: [0,1] → [0,+∞)
Максимум энтропии (минимум информации):
Ф(A,L)=J(A,L)+α×Q(L)→min(L∈Ω) ⇔ K(A,L)×M(L)α→max(L∈Ω).
J(A,L) = – log(P(A/L)); Q(L) = – log(P(L)); α - модельный параметр
Интерпретация: регуляризация задачи сегментации по Тихонову

Форма и семантический смысл критериев

морфологический скелет


















Минимальное число областей
Минимальное число дисков
Полное писксельное разбиение
Полное дисковое

представление

операция сложения (‘+’), задающая на Ω группу с «нулевым образом»

∅. Кроме этого, на множестве образов определена Ω – норма μ(A)=||A||: Ω→R, ||∅||=0, причем норма разности обладает свойствами расстояния. На множестве пар образов задана
Функция-критерий (критерий штрафа)
Ф(A,B): Ω×Ω→R
Морфологический проектор на базе критерия:
Pr(A,Ф)=B: Ф(A,B)→min(B∈Ω), Pr(A)=Pr(Pr(A)), Pr(∅)=∅.
Критериальная морфологическая модель -
М = {A∈Ω: Pr(A,Ф)=A}
множество собственных (стабильных) элементов проектора. Модель M2 по отношению к M1 является более сложной, если M2 ⊆ M1.
Морфологический коэффициент корреляции:
KМ(A,Pr)=KM(A,M)=exp( - ||A-Pr(A,M)||/||Pr(A,M)||),
0≤KM(A,M)≤1; KM(A,M)=1 ⇔ A∈M; Pr(A,M)=∅ ⇔ KM(A,M)=0.
Конкретные морфологии определяются конкретным видом критерия.

критерий соответствия проекции и образа, причем
∀A∈Ω, B∈V(A,Ф): J(A,A)≤J(A,B),
χ(A,B) – критерий

(предикат) допустимости решения, определяющий ОДЗ
χ(A,B) = {0: B∈V(A,Ф); +∞: B∉V(A,Ф)},
Q(B) – критерий качества проекции, характеризующий ее принадлежность модели M;
α≥0 – структурирующий параметр, обеспечивающий компромисс между требованиями соответствия и качества.
Утверждение. С увеличением значения структурирующего параметра α сложность модели, которую определяет проектор, монотонно убывает.
⇒ α - параметр морфологической сложности модели.
Морфологический спектр:
Sp(A,α) = ∂ || Pr(A,J,χ,α,Q) || / ∂α
Коэффициент максимальной морфологической сложности:
αmax(A)=max{α≥0: A=Pr(A,J,χ,α,Q)}.

Критериальные проективные морфологии

проективные морфологии

изображений)
Пример критериальной морфологической интерполяции контура двумерного бинарного образа.








Критериальные проективные

морфологии