6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции

волновых функций
Для построения теории, описывающей поведение микрообъектов атомных масштабов,

понадобилось около четверти века.
Основные идеи нерелятивистской квантовой механики были сформулированы в 1925-26 гг. в работах В. Гейзенберга, Э. Шредингера, П. Дирака и М. Борна.
Квантовая механика – теория, более общая по отношению к классической

механике. Она переходит в классическую механику при рассмотрении макроскопическими объектов.
Вместе с тем, в квантовой механике для описания взаимодействия между электронами и фотонами сохраняется представление о потенциальной энергии взаимодействия заряженных объектов между собой и с излучением, понимаемым классически.
Более фундаментальная по отношению к квантовой механике дисциплина – квантовая электродинамика, явным образом учитывающая дискретность как вещества, так и излучения (через предложенную П. Дираком процедуру «вторичного квантования»).

Paul Dirac
(1902-1984)

и импульса, а движение – зависимостью координат и импульса от

времени: . Для определения этих функций используют уравнения движения. Например, второй закон Ньютона.
Для системы частиц определяются координаты и импульсы каждой из них:

В 1925 г. В. Гейзенберг заложил основы матричной (нерелятивистской) квантовой механики.
В 1926 г. Э. Шредингер построил нерелятивистскую волновую механику на основе (еще не подтвержденной тогда) гипотезы де Бройля.
При несхожести подходов эти две теории приводили к одинаковым выводам. Вскоре Шредингер доказал, что эти две теории математически эквивалентны. Их общее современное название – «нерелятивистская квантовая механика».
Шредингеровский подход более прост для начального ознакомления. Он и используется в дальнейшем.

что частица с единичной вероятностью находится где-то в ограниченной области

пространства (интеграл должен сходиться):

Для описания состояния замкнутой системы из нескольких (N) микрообъектов используют волновую функцию, определенную в «конфигурационном пространстве» размерности 3N. Например, для N=2 вероятность обнаружить первую частицу в объеме dV1 вблизи точки и вторую частицу в dV2 вблизи точки определяется как:

В волновой механике «в координатном представлении» состояние частицы характеризуется комплекснозначной волновой функцией («амплитудой вероятности») .
Траектория частицы не может быть определена, о движении речь может идти только «в широком понимании», как о временной зависимости.
Квадрат модуля амплитуды вероятности имеет смысл «плотности вероятности»: он пропорционален вероятности dw обнаружить микрообъект в
момент t в объеме dV вблизи данной точки пространства:

вычисления волновой функции в любых заданных условиях.
В соответствии с результатами

экспериментов, для свободного пространства, в отсутствие действующих на микрообъект силовых полей, решение такого уравнения должно иметь вид волны де Бройля
.
Частота и волновой вектор сопоставляются классическим энергии и импульса объекта:
,
Математическое представления волны де Бройля аналогично выражению для электромагнитной волны. Можно предположить, что и в остальных случаях аналогия с волновой оптикой подскажет правильный вид искомого уравнения.
Распространение любых волн в пространстве описывается «волновым уравнением» вида
, где  -- характеризующая волну скалярная величина; v – (фазовая) скорость волны;
– оператор Лапласа (лапласиан).

E = ħ

функции (амплитуду колебаний):

(Фаза колебаний включена в комплексный амплитудный множитель.)
Тогда, учитывая

соотношение k=/v , волновое уравнение можно переписать для амплитудной функции:

Это соотношение называется уравнением Гельмгольца.
Оно справедливо, в том числе, и в неоднородных средах с непостоянной оптической плотностью, где
и .

Можно приписать аналогичные свойства и волновой функции .

частицы (сумма потенциальной и кинетической составляющих) должна сохраняться. Тогда постоянной

должна быть и частота
, связанная с энергией соотношением E=ħ .
Следовательно, в волновой функции можно выделить пространственную часть:

Для пространственной части потребуем выполнения уравнения Гельмгольца:

Влияние внешнего силового поля здесь учитывается через зависимость .
Волновое число можно выразить через импульс микрообъекта (частицы) p: k 2 =p 2/ ħ2 .
Осталось связать импульс с параметрами силового поля, которые можно задать введением функции потенциальной энергии (в стационарной задаче не зависящей явно от времени) .
Для этого Шредингер использовал нерелятивистское выражение для (сохраняющейся) полной энергии частицы с массой m:

(Именно в этом случае получилось согласие выводов теории с экспериментом.)

стационарным (амплитудным) уравнением Шредингера. Или уравнением Шредингера для состояния с

определенной энергией.
Оно было получено нестрогим образом – фактически постулировано. Но оказалось верным.
Использовав это соотношение и взяв для потенциальной энергии выражение для кулоновского потенциала, Шредингер получил спектр разрешенных значений энергии водородоподобного атома, совпадающий с результатами, полученными в модели Бора.
При этом не потребовалось постулировать правила квантования – разрешенным энергиям соответствовали энергии стоячих волн (резонансных колебаний) в потенциальной яме, профиль которой описывается кулоновским потенциалом.
Поскольку результаты расчетов в модели Бора для атома водорода в точности соответствовали экспериментальным данным, это означало подтверждение и для стационарного (амплитудного) уравнения Шредингера.

в волновой механике Шредингера более естественным образом, чем при использовании

«искусственных» постулатов Бора. Можно сказать, что сами эти постулаты получили свое объяснение.
Стационарное уравнение Шредингера – одно из основных уравнений волновой механики. Исключив из него E , можно прийти к другому, еще более
общему уравнению, позволяющему описывать и нестационарные состояния, которым не соответствует никакое определенное значение энергии.
Будем основываться на использованном представлении волновой функции в виде, справедливом для состояний с определенной энергией:

Для него справедливо: или


В стационарном уравнении Шредингера можно домножить все члены на временную часть волновой функции и выделить слагаемое, зависящее от E:

(гамильтониан)
.
С его использованием стационарное и временнóе уравнения Шредингера могут быть

записаны в виде:
(стационарное)
(временнóе)
Подчеркнем еще раз, что уравнение Шредингера (в любой форме) не может быть выведено из каких-либо более фундаментальных законов. Оно представляет собой первичный постулат (закон природы), лежащий в основе квантовой механики. Его справедливость доказана согласием с экспериментом.

волновой функцией ,

временное уравнение Шредингера позволяет описать динамику изменения волновой функции на будущее, то есть, достоверно предсказать все будущие состояния системы.
Физический смысл волновой функции определяет дополнительные требования к ее свойствам. Она должна быть непрерывной, иметь непрерывную производную по координате, быть однозначной и ограниченной.
Волновая функция определена с точностью до фазового множителя exp(i), где  – произвольное вещественное число. Такой множитель не влияет на величину квадрата модуля волновой функции, имеющую физический смысл.
Квадрат модуля волновой функции выражается произведением:
(Звездочка означает комплексное сопряжение.)
Поэтому условие нормировки волновой функции может быть записано как:

В области, где потенциальная энергия бесконечна, волновая функция должна быть равной 0. Из свойства непрерывности, она должна обращаться в 0 на границе такой области.

если система может находиться в нескольких состояниях, описываемых волновыми функциями
,
то

она может находиться и в состоянии с волновой функцией
,
где сk – произвольные коэффициенты.

Итак, два основных положения (постулата) квантовой механики «в координатном представлении» можно кратко изложить следующим образом:
Состояние квантовомеханической системы характеризуется волновой функцией  в конфигурационном пространстве.
Волновая функция  подчиняются уравнению Шредингера


Оставшиеся два основных положения связывают волновые функции с наблюдаемыми физическими величинами.