АЛГЕБРА (3-й семестр)

являются рассмотрение вопросов:
Целые и рациональные корни многочленов из Q[x].
Примитивные многочлены

и связь между приводимостью многочленов над полем Q и над кольцом Z.
Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x] (критерий Эйзенштейна и метод Кронекера).

многочлен f(x)Q[x], где deg f(x)>1, который имеет по крайней мере

один рациональный корень, приводим в Q[x].
Но, разумеется, приводимыми могут быть и многочлены, не имеющие рациональных корней. Например, f(x)=(x2+1)(x2-2).
Таким образом, наличие рационального корня – это лишь достаточный признак приводимости многочленов степени > 1 над полем Q.

2 и 3 степени этот признак приводимости также является необходимым,

т.е. справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Многочлен f(x) 2-й или 3-й степени с рациональными коэффициентами приводим над полем Q тогда и только тогда он имеет по крайней мере один рациональный корень. ◙

Докажем еще один достаточный признак неприводимости для произвольного многочлена f(x)Q[x] степени n>1 .

(критерий Эйзенштейна).
Многочлен f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+anxn с целыми коэффициентами неприводим над полем Q

(кольцом Z), если существует такое простое число p, что выполняются условия:
1. коэффициенты a0,a1,…,an-1 делятся на p;
2. свободный член a0 не делится на p2;
3. старший коэффициент an не делится на p.

все условия теоремы 7 выполняются, но f(x) – приводим над

полем Q, a следовательно, по теореме 5 и над кольцом Z.
Пусть
где

Тогда

Коэффициент a0=b0c0 делится на p, значит b0 или c0 делится на p. Пусть b0 делится на p. Тогда c0 не делится на p, так как a0 не делится на p2.
Далее, не могут все коэффициенты многочлена g(x) делится на p, ибо тогда и все коэффициенты многочлена f(x) делились бы на p, а это противоречие условию 3.

– первый коэффициент в g(x), который не делится на p.

Ясно что k ≤ r < n.
Левая часть равенства ,
а также все слагаемые правой части начиная со второго, делятся на p.
Значит и , где c0 не делится на p. Следовательно, bk делиться на p, что противоречит предположению.
Значит f(x) неприводим над кольцом Z а, следовательно, и над полем Q. ◙

Многочлен
неприводим над полем Q, так как

удовлетворяет условиям теоремы 5 при p=2. ◙
Следствие 1. Над полем Q существуют неприводимые многочлены любой натуральной степени.
◘ В самом деле, многочлен
при любом натуральном n и любом простом p в силу признака Эйзенштейна неприводим над Q. ◙

в C[x] неприводимы только многочлены первой степени, в R[x] –

только многочлены первой степени и некоторые многочлены второй степени и, наконец, в Q[x] неприводимыми могут быть многочлены любой степени.
Пример многочленов, неприводимых в Q[x]:

Результаты, полученные в этой главе, часто позволяют по самому виду

многочленов получить о нем некоторую информацию.
Пример 5. Многочлен
приводим в C[x], имеет 7 комплексных корней;
приводим в R[x], имеет по крайней мере один действительный корень, все действительные корни положительны;
неприводим над полем Q и, следовательно, рациональных корней не имеет.
Таким образом, все действительные корни положительны и иррациональны. ◙

если многочлен f(x)Q[x] степени n > 3,

не имеет рациональных корней и не удовлетворяет условиям Эйзенштейна, то результаты этого параграфа не позволяют решить вопрос о его приводимости.

Имеется много других достаточных признаков неприводимости, страдающих тем же недостатком,

что и метод Эйзенштейна. Важно указать необходимый и достаточный признак, позволяющий для любого многочлена решить – приводим он или неприводим в кольце Q[x].
Немецкий математик Леопольд Кронекер (1823 – 1891) разработал алгоритм, решающий эту задачу.

о приводимости над Q достаточно решить вопрос о приводимости над

кольцом Z любого многочлена с целыми коэффициентами.
Пусть f(x) - некоторый многочлен степени n>1 из кольца Z[x].
Если среди многочленов степени
из кольца Z[x] нет делителей многочлена f(x), то он неприводим над кольцом Z, в противном случае – он приводим.
Идея метода Кронекера заключается в указании конечного множества многочленов степени s, среди которых находятся все делители многочлена f(x).

.

Тогда, если , то
для .
Таким образом, условия
необходимы для того чтобы многочлен g(x) степени s был делителем многочлена f(x).
Обозначим через di некоторые делители чисел f(αi) и построим многочлен , для которого

(**)

(*)

достаточно решить относительно
cистему:



Можно доказать, что определитель этой системы

отличен от нуля. Значит система имеет единственное решение.
Т.к. каждое из чисел имеет конечное число делителей, то можно построить только конечное число систем вида (***) и, следовательно, существует только конечное множество многочленов g(x) степени s, для которых выполняются условия (*).

(***)

множестве и находятся все возможные делители степени s для многочлена

f(x). Непосредственной проверкой убеждаются, имеются ли среди них делители f(x).
Проделав эту работу для всех
мы либо убедимся, что f(x) делителей не имеет, т.е. f(x) неприводим, либо находят делитель многочлена f(x) после чего та же работа проводится для делителя и частного.
В конечном счете f(x) в случае приводимости разлагается на неприводимые множители.

метода Кронекера и проста, практически он в силу своей громоздкости

неприменим.
Пример. Установить методом Кронекера неприводимость многочлена
(неприводимость f вытекает из критерия Эйзенштейна).
Прежде всего надо показать, что f не имеет делителей первой степени.
Это достигается сравнительно легко: достаточно показать, что f не имеет рациональных корней.
Затем надо показать, что f не имеет квадратных делителей.

имеет делители
f(1)=16 имеет делители
f(-1)=8 имеет делители
То надо составить 12*10*8=960 систем

вида (***), решить их и убедиться, что все 960 многочленов не являются делителями f(x).

Яковкин разработал новый метод полностью решающий вопрос о приводимости многочленов

в кольце Q[x]. Этот метод гораздо проще и эффективнее метода Кронекера.